Главная → Органический мир → Уравнение плоскости: как составить? Виды уравнений плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Уравнение плоскости проходящей через 2 точки

Уравнение плоскости: как составить? Виды уравнений плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Уравнение плоскости проходящей через 2 точки

Можно задавать разными способами (одной точкой и вектором, двумя точками и вектором, тремя точками и др.). Именно с учетом этого уравнение плоскости может иметь различные виды. Также при соблюдении определенных условий плоскости могут быть параллельными, перпендикулярными, пересекающимися и т.д. Об этом и поговорим в данной статье. Мы научимся составлять общее уравнение плоскости и не только.

Нормальный вид уравнения

Допустим, есть пространство R 3 , которое имеет прямоугольную координатную систему XYZ. Зададим вектор α, который будет выпущен из начальной точки О. Через конец вектора α проведем плоскость П, которая будет ему перпендикулярна.

Обозначим на П произвольную точку Q=(х,у,z). Радиус-вектор точки Q подпишем буквой р. При этом длина вектора α равняется р=IαI и Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Это единичный вектор, который направлен в сторону, как и вектор α. α, β и γ - это углы, которые образуются между вектором Ʋ и положительными направлениями осей пространства х, у, z соответственно. Проекция какой-либо точки QϵП на вектор Ʋ является постоянной величиной, которая равна р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Указанное уравнение имеет смысл, когда р=0. Единственное, плоскость П в этом случае будет пересекать точку О (α=0), которая является началом координат, и единичный вектор Ʋ, выпущенный из точки О, будет перпендикулярен к П, несмотря на его направление, что означает, что вектор Ʋ определяется с точностью до знака. Предыдущее уравнение является уравнением нашей плоскости П, выраженным в векторной форме. А вот в координатах его вид будет таким:

Р здесь больше или равно 0. Мы нашли уравнение плоскости в пространстве в нормальном виде.

Общее уравнение

Если уравнение в координатах умножим на любое число, которое не равно нулю, получим уравнение, эквивалентное данному, определяющее ту самую плоскость. Оно будет иметь такой вид:

Здесь А, В, С - это числа, одновременно отличные от нуля. Это уравнение именуется как уравнение плоскости общего вида.

Уравнения плоскостей. Частные случаи

Уравнение в общем виде может видоизменяться при наличии дополнительных условий. Рассмотрим некоторые из них.

Предположим, что коэффициент А равен 0. Это означает, что данная плоскость параллельна заданной оси Ох. В этом случае вид уравнения изменится: Ву+Cz+D=0.

Аналогично вид уравнения будет изменяться и при следующих условиях:

Во-первых, если В=0, то уравнение изменится на Ах+Cz+D=0, что будет свидетельствовать о параллельности к оси Оу.
Во-вторых, если С=0, то уравнение преобразуется в Ах+Ву+D=0, что будет говорить о параллельности к заданной оси Oz.
В-третьих, если D=0, уравнение будет выглядеть как Ах+Ву+Cz=0, что будет означать, что плоскость пересекает О (начало координат).
В-четвертых, если A=B=0, то уравнение изменится на Cz+D=0, что будет доказывать параллельность к Oxy.
В-пятых, если B=C=0, то уравнение станет Ах+D=0, а это означает, что плоскость к Oyz параллельна.
В-шестых, если A=C=0, то уравнение приобретет вид Ву+D=0, то есть будет сообщать о параллельности к Oxz.

Вид уравнения в отрезках

В случае когда числа А, В, С, D отличны от нуля, вид уравнения (0) может быть следующим:

х/а + у/b + z/с = 1,

в котором а = -D/А, b = -D/В, с = -D/С.

Получаем в итоге Стоит отметить, что данная плоскость будет пересекать ось Ох в точке с координатами (а,0,0), Оу - (0,b,0), а Oz - (0,0,с).

С учетом уравнения х/а + у/b + z/с = 1 нетрудно визуально представить размещение плоскости относительно заданной координатной системы.

Координаты нормального вектора

Нормальный вектор n к плоскости П имеет координаты, которые являются коэффициентами общего уравнения данной плоскости, то есть n (А,В,С).

Для того чтобы определить координаты нормали n, достаточно знать общее уравнение заданной плоскости.

При использовании уравнения в отрезках, которое имеет вид х/а + у/b + z/с = 1, как и при использовании общего уравнения, можно записать координаты любого нормального вектора заданной плоскости: (1/а + 1/b + 1/с).

Стоит отметить, что нормальный вектор помогает решить разнообразные задачи. К самым распространенным относятся задачи, заключающиеся в доказательстве перпендикулярности или параллельности плоскостей, задачи по нахождению углов между плоскостями или углов между плоскостями и прямыми.

Вид уравнения плоскости согласно координатам точки и нормального вектора

Ненулевой вектор n, перпендикулярный заданной плоскости, называют нормальным (нормалью) для заданной плоскости.

Предположим, что в координатном пространстве (прямоугольной координатной системе) Oxyz заданы:

точка Мₒ с координатами (хₒ,уₒ,zₒ);
нулевой вектор n=А*i+В*j+С*k.

Нужно составить уравнение плоскости, которая будет проходить через точку Мₒ перпендикулярно нормали n.

В пространстве выберем любую произвольную точку и обозначим ее М (х у,z). Пускай радиус-вектор всякой точки М (х,у,z) будет r=х*i+у*j+z*k, а радиус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ*j+zₒ*k. Точка М будет принадлежать заданной плоскости, если вектор МₒМ будет перпендикулярен вектору n. Запишем условие ортогональности при помощи скалярного произведения:

[МₒМ, n] = 0.

Поскольку МₒМ = r-rₒ, векторное уравнение плоскости выглядеть будет так:

Данное уравнение может иметь и другую форму. Для этого используются свойства скалярного произведения, а преобразовывается левая сторона уравнения. = - . Если обозначить как с, то получится следующее уравнение: - с = 0 или = с, которое выражает постоянство проекций на нормальный вектор радиус-векторов заданных точек, которые принадлежат плоскости.

Теперь можно получить координатный вид записи векторного уравнения нашей плоскости = 0. Поскольку r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С*k, мы имеем:

Выходит, у нас образовывается уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормали n:

А*(х- хₒ)+В*(у- уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид уравнения плоскости согласно координатам двух точек и вектора, коллинеарного плоскости

Зададим две произвольные точки М′ (х′,у′,z′) и М″ (х″,у″,z″), а также вектор а (а′,а″,а‴).

Теперь мы сможем составить уравнение заданной плоскости, которая будет проходить через имеющиеся точки М′ и М″, а также всякую точку М с координатами (х,у,z) параллельно заданному вектору а.

При этом векторы М′М={х-х′;у-у′;z-z′} и М″М={х″-х′;у″-у′;z″-z′} должны быть компланарными с вектором а=(а′,а″,а‴), а это значит, что (М′М, М″М, а)=0.

Итак, наше уравнение плоскости в пространстве будет выглядеть так:

Вид уравнения плоскости, пересекающей три точки

Допустим, у нас есть три точки: (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴), которые не принадлежат одной прямой. Необходимо написать уравнение плоскости, проходящей через заданные три точки. Теория геометрии утверждает, что такого рода плоскость действительно существует, вот только она единственная и неповторимая. Поскольку эта плоскость пересекает точку (х′,у′,z′), вид ее уравнения будет следующим:

Здесь А, В, С отличные от нуля одновременно. Также заданная плоскость пересекает еще две точки: (х″,у″,z″) и (х‴,у‴,z‴). В связи с этим должны выполняться такого рода условия:

Сейчас мы можем составить однородную систему с неизвестными u, v, w:

В нашем случае х,у или z выступает произвольной точкой, которая удовлетворяет уравнение (1). Учитывая уравнение (1) и систему из уравнений (2) и (3), системе уравнений, указанной на рисунке выше, удовлетворяет вектор N (А,В,С), который является нетривиальным. Именно потому определитель данной системы равняется нулю.

Уравнение (1), которое у нас получилось, это и есть уравнение плоскости. Через 3 точки она точно проходит, и это легко проверить. Для этого нужно разложить наш определитель по элементам, находящимся в первой строке. Из существующих свойств определителя вытекает, что наша плоскость одновременно пересекает три изначально заданные точки (х′,у′,z′), (х″,у″,z″), (х‴,у‴,z‴). То есть мы решили поставленную перед нами задачу.

Двухгранный угол между плоскостями

Двухгранный угол представляет собой пространственную геометрическую фигуру, образованную двумя полуплоскостями, которые исходят из одной прямой. Иными словами, это часть пространства, которая ограничивается данными полуплоскостями.

Допустим, у нас имеются две плоскости со следующими уравнениями:

Нам известно, что векторы N=(А,В,С) и N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярны согласно заданным плоскостям. В связи с этим угол φ меж векторами N и N¹ равняется углу (двухгранному), который находится между этими плоскостями. Скалярное произведение имеет вид:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

именно потому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достаточно учесть, что 0≤φ≤π.

На самом деле две плоскости, которые пересекаются, образуют два угла (двухгранных): φ 1 и φ 2 . Сумма их равна π (φ 1 + φ 2 = π). Что касается их косинусов, то их абсолютные величины равны, но различаются они знаками, то есть cos φ 1 =-cos φ 2 . Если в уравнении (0) заменить А, В и С на числа -А, -В и -С соответственно, то уравнение, которое мы получим, будет определять эту же плоскость, единственное, угол φ в уравнении cos φ= NN 1 /|N||N 1 | будет заменен на π-φ.

Уравнение перпендикулярной плоскости

Перпендикулярными называются плоскости, между которыми угол равен 90 градусов. Используя материал, изложенный выше, мы можем найти уравнение плоскости, перпендикулярной другой. Допустим, у нас имеются две плоскости: Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D=0. Мы можем утверждать, что перпендикулярными они будут, если cosφ=0. Это значит, что NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Уравнение параллельной плоскости

Параллельными называются две плоскости, которые не содержат общих точек.

Условие (их уравнения те же, что и в предыдущем пункте) заключается в том, что векторы N и N¹, которые к ним перпендикулярны, коллинеарные. А это значит, что выполняются следующие условия пропорциональности:

А/А¹=В/В¹=С/С¹.

Если условия пропорциональности являются расширенными - А/А¹=В/В¹=С/С¹=DD¹,

это свидетельствует о том, что данные плоскости совпадают. А это значит, что уравнения Ах+Ву+Cz+D=0 и А¹х+В¹у+С¹z+D¹=0 описывают одну плоскость.

Расстояние до плоскости от точки

Допустим, у нас есть плоскость П, которая задана уравнением (0). Необходимо найти до нее расстояние от точки с координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Чтобы это сделать, нужно привести уравнение плоскости П в нормальный вид:

(ρ,v)=р (р≥0).

В данном случае ρ (х,у,z) является радиус-вектором нашей точки Q, расположенной на П, р - это длина перпендикуляра П, который был выпущен из нулевой точки, v - это единичный вектор, который расположен в направлении а.

Разница ρ-ρº радиус-вектора какой-нибудь точки Q=(х,у,z), принадлежащий П, а также радиус-вектора заданной точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) является таким вектором, абсолютная величина проекции которого на v равняется расстоянию d, которое нужно найти от Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, но

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Вот и получается,

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Таким образом, мы найдем абсолютное значение полученного выражения, то есть искомое d.

Используя язык параметров, получаем очевидное:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Если заданная точка Q 0 находится по другую сторону от плоскости П, как и начало координат, то между вектором ρ-ρ 0 и v находится следовательно:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

В случае когда точка Q 0 совместно с началом координат располагается по одну и ту же сторону от П, то создаваемый угол острый, то есть:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

В итоге получается, что в первом случае (ρ 0 ,v)>р, во втором (ρ 0 ,v)<р.

Касательная плоскость и ее уравнение

Касающаяся плоскость к поверхности в точке касания Мº - это плоскость, содержащая все возможные касательные к кривым, проведенным через эту точку на поверхности.

При таком виде уравнения поверхности F(х,у,z)=0 уравнение касательной плоскости в касательной точке Мº(хº,уº,zº) будет выглядеть так:

F х (хº,уº,zº)(х- хº)+ F х (хº, уº, zº)(у- уº)+ F х (хº, уº,zº)(z-zº)=0.

Если задать поверхность в явной форме z=f (х,у), то касательная плоскость будет описана уравнением:

z-zº =f(хº, уº)(х- хº)+f(хº, уº)(у- уº).

Пересечение двух плоскостей

В расположена система координат (прямоугольная) Oxyz, даны две плоскости П′ и П″, которые пересекаются и не совпадают. Поскольку любая плоскость, находящаяся в прямоугольной координатной системе, определяется общим уравнением, будем полагать, что П′ и П″ задаются уравнениями А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. В таком случае имеем нормаль n′ (А′,В′,С′) плоскости П′ и нормаль n″ (А″,В″,С″) плоскости П″. Поскольку наши плоскости не параллельны и не совпадают, то эти векторы являются не коллинеарными. Используя язык математики, мы данное условие можем записать так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Пускай прямая, которая лежит на пересечении П′ и П″, будет обозначаться буквой а, в этом случае а = П′ ∩ П″.

а - это прямая, состоящая из множества всех точек (общих) плоскостей П′ и П″. Это значит, что координаты любой точки, принадлежащей прямой а, должны одновременно удовлетворять уравнения А′х+В′у+С′z+D′=0 и А″х+В″у+С″z+D″=0. Значит, координаты точки будут частным решением следующей системы уравнений:

В итоге получается, что решение (общее) этой системы уравнений будет определять координаты каждой из точек прямой, которая будет выступать точкой пересечения П′ и П″, и определять прямую а в координатной системе Oxyz (прямоугольной) в пространстве.

Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на одной прямой.

Рассмотрим точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) в общей декартовой системе координат.

Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с точками М 1 , М 2 , М 3 необходимо, чтобы векторы были компланарны.

(
) = 0

Таким образом,

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1),M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) и вектор
.

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М 1 и М 2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору .

Векторы
и вектор
должны быть компланарны, т.е.

(
) = 0

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам,

коллинеарным плоскости.

Пусть заданы два вектора
и
, коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у,z), принадлежащей плоскости, векторы
должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали .

Теорема. Если в пространстве задана точка М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ), то уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 перпендикулярно вектору нормали (A , B , C ) имеет вид:

A (x – x 0 ) + B (y – y 0 ) + C (z – z 0 ) = 0.

Доказательство. Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор . Т.к. вектор - вектор нормали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен и вектору
. Тогда скалярное произведение

= 0

Таким образом, получаем уравнение плоскости

Теорема доказана.

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D)

заменив
, получим уравнение плоскости в отрезках:

Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у, z.

Уравнение плоскости в векторной форме.

где

- радиус- вектор текущей точки М(х, у, z),

Единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.

,  и  - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z.

p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от произвольной точки М 0 (х 0 , у 0 , z 0) до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0
параллелен искомой плоскости.

Получаем:

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор
(1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали(1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

Находим координаты вектора нормали
= (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Найти длину ребра А 1 А 2 .

Найти угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 .

Найти угол между ребром А 1 А 4 и гранью А 1 А 2 А 3 .

Сначала найдем вектор нормали к грани А 1 А 2 А 3 как векторное произведение векторов
и
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Найдем угол между вектором нормали и вектором
.

-4 – 4 = -8.

Искомый угол  между вектором и плоскостью будет равен  = 90 0 - .

Найти площадь грани А 1 А 2 А 3 .

Найти объем пирамиды.

Найти уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 .

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики ” можно запустить программу, которая решит рассмотренный выше пример для любых координат вершин пирамиды.

Для запуска программы дважды щелкните на значке:

В открывшемся окне программы введите координаты вершин пирамиды и, нажимитеEnter. Таким образом, поочередно могут быть получены все пункты решения.

Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple ( Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.

В этом уроке мы рассмотрим, как с помощью определителя составить уравнение плоскости . Если вы не знаете, что такое определитель, зайдите в первую часть урока - «Матрицы и определители ». Иначе вы рискуете ничего не понять в сегодняшнем материале.

Уравнение плоскости по трем точкам

Зачем вообще нужно уравнение плоскости? Все просто: зная его, мы легко высчитаем углы, расстояния и прочую хрень в задаче C2. В общем, без этого уравнения не обойтись. Поэтому сформулируем задачу:

Задача. В пространстве даны три точки, не лежащие на одной прямой. Их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3);

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Причем уравнение должно иметь вид:

Ax + By + Cz + D = 0

где числа A , B , C и D - коэффициенты, которые, собственно, и требуется найти.

Ну и как получить уравнение плоскости, если известны только координаты точек? Самый простой способ - подставить координаты в уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Получится система из трех уравнений, которая легко решается.

Многие ученики считают такое решение крайне утомительным и ненадежным. Прошлогодний ЕГЭ по математике показал, что вероятность допустить вычислительную ошибку действительно велика.

Поэтому наиболее продвинутые учителя стали искать более простые и изящные решения. И ведь нашли! Правда, полученный прием скорее относится к высшей математике. Лично мне пришлось перерыть весь Федеральный перечень учебников, чтобы убедиться, что мы вправе применять этот прием без каких-либо обоснований и доказательств.

Уравнение плоскости через определитель

Хватит лирики, приступаем к делу. Для начала - теорема о том, как связаны определитель матрицы и уравнение плоскости.

Теорема. Пусть даны координаты трех точек, через которые надо провести плоскость: M = (x 1 , y 1 , z 1); N = (x 2 , y 2 , z 2); K = (x 3 , y 3 , z 3). Тогда уравнение этой плоскости можно записать через определитель:

Для примера попробуем найти пару плоскостей, которые реально встречаются в задачах С2. Взгляните, как быстро все считается:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

Составляем определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · (z − 1) + 0 · 0 · x + (−1) · 1 · y = z − 1 − y;
b = (−1) · 1 · x + 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Как видите, при расчете числа d я немного «причесал» уравнение, чтобы переменные x , y и z шли в правильной последовательности. Вот и все! Уравнение плоскости готово!

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Сразу подставляем координаты точек в определитель:

Снова раскрываем определитель:

a = 1 · 1 · z + 0 · 1 · x + 1 · 0 · y = z;
b = 1 · 1 · x + 0 · 0 · z + 1 · 1 · y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Итак, уравнение плоскости снова получено! Опять же, на последнем шаге пришлось поменять в нем знаки, чтобы получить более «красивую» формулу. Делать это в настоящем решении совсем не обязательно, но все-таки рекомендуется - чтобы упростить дальнейшее решение задачи.

Как видите, составлять уравнение плоскости теперь намного проще. Подставляем точки в матрицу, считаем определитель - и все, уравнение готово.

На этом можно было бы закончить урок. Однако многие ученики постоянно забывают, что стоит внутри определителя. Например, в какой строчке стоит x 2 или x 3 , а в какой - просто x . Чтобы окончательно разобраться с этим, давайте проследим, откуда берется каждое число.

Откуда берется формула с определителем?

Итак, разбираемся, откуда возникает такое суровое уравнение с определителем. Это поможет вам запомнить его и успешно применять.

Все плоскости, которые встречаются в задаче C2, задаются тремя точками. Эти точки всегда отмечены на чертеже, либо даже указаны прямо в тексте задачи. В любом случае, для составления уравнения нам потребуется выписать их координаты:

M = (x 1 , y 1 , z 1);
N = (x 2 , y 2 , z 2);
K = (x 3 , y 3 , z 3).

Рассмотрим еще одну точку на нашей плоскости с произвольными координатами:

T = (x , y , z )

Берем любую точку из первой тройки (например, точку M ) и проведем из нее векторы в каждую из трех оставшихся точек. Получим три вектора:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1);
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1);
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1).

Теперь составим из этих векторов квадратную матрицу и приравняем ее определитель к нулю. Координаты векторов станут строчками матрицы - и мы получим тот самый определитель, который указан в теореме:

Эта формула означает, что объем параллелепипеда, построенного на векторах MN , MK и MT , равен нулю. Следовательно, все три вектора лежат в одной плоскости. В частности, и произвольная точка T = (x , y , z ) - как раз то, что мы искали.

Замена точек и строк определителя

У определителей есть несколько замечательных свойств, которые еще более упрощают решение задачи C2 . Например, нам неважно, из какой точки проводить векторы. Поэтому следующие определители дают такое же уравнение плоскости, как и приведенный выше:

Также можно менять местами строчки определителя. Уравнение при этом останется неизменным. Например, многие любят записывать строчку с координатами точки T = (x ; y ; z ) в самом верху. Пожалуйста, если вам так удобно:

Некоторых смущает, что в одной из строчек присутствуют переменные x , y и z , которые не исчезают при подстановке точек. Но они и не должны исчезать! Подставив числа в определитель, вы должны получить вот такую конструкцию:

Затем определитель раскрывается по схеме, приведенной в начале урока, и получается стандартное уравнение плоскости:

Ax + By + Cz + D = 0

Взгляните на пример. Он последний в сегодняшнем уроке. Я специально поменяю строчки местами, чтобы убедиться, что в ответе получится одно и то же уравнение плоскости.

Задача. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).

Итак, рассматриваем 4 точки:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x , y , z ).

Для начала составим стандартный определитель и приравниваем его к нулю:

Раскрываем определитель:

a = 0 · 1 · (z − 1) + 1 · 0 · (x − 1) + (−1) · (−1) · y = 0 + 0 + y;
b = (−1) · 1 · (x − 1) + 1 · (−1) · (z − 1) + 0 · 0 · y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Все, мы получили ответ: x + y + z − 2 = 0 .

Теперь давайте переставим пару строк в определителе и посмотрим, что произойдет. Например, запишем строчку с переменными x , y , z не внизу, а вверху:

Вновь раскрываем полученный определитель:

a = (x − 1) · 1 · (−1) + (z − 1) · (−1) · 1 + y · 0 · 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) · 1 · 0 + y · (−1) · (−1) + (x − 1) · 1 · 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Мы получили точно такое же уравнение плоскости: x + y + z − 2 = 0. Значит, оно действительно не зависит от порядка строк. Осталось записать ответ.

Итак, мы убедились, что уравнение плоскости не зависит от последовательности строк. Можно провести аналогичные вычисления и доказать, что уравнение плоскости не зависит и от точки, координаты которой мы вычитаем из остальных точек.

В рассмотренной выше задаче мы использовали точку B 1 = (1, 0, 1), но вполне можно было взять C = (1, 1, 0) или D 1 = (0, 1, 1). В общем, любую точку с известными координатами, лежащую на искомой плоскости.

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным (неколлинеарным) векторам

Указание: 1способ . Возьмем произвольную точку плоскости M (x, y, z). Векторы будут компланарны, так как они расположены в параллельных плоскостях. Следовательно, их смешанное произведение
Записывая это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости:

Вычислять этот определитель удобнее разложением по первой строке.

2 способ . Векторы
параллельны искомой плоскости. Следовательно, вектор, равный векторному произведению векторов
перпендикулярен этой плоскости, т.е.
и
. Векторявляется нормальным вектором плоскости. Если
и
, то вектор находится по формуле:

Уравнение плоскости находим по точке
и нормальному вектору

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через две данные точки параллельно данному вектору
.(
неколлинеарны).

Указание: 1 способ. Пусть M (x, y, z) – произвольная точка плоскости. Тогда векторы и
располагаются в параллельных плоскостяхи, следовательно, компланарны, т.е. их смешанное произведение
Записав это условие в координатах, получим уравнение искомой плоскости .

2 способ . Вектор нормали к искомой плоскости будет равен векторному произведению векторов
, т.е.
или в координатах:

Уравнение искомой плоскости найдется по нормальному векторуи точке
(или точке
)по формуле (2.1.1)

(см. пример 1 пункт 2.2).

3. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0.

Указание: Нормальный вектор найдем из общего уравнения данной плоскости 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Векторперпендику-лярен данной плоскости, следовательно, он перпендикулярен любой плоскости, параллельной ей. Векторможно взять за нормальный вектор искомой плоскости. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1 пункт 2.2).

Ответ:

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2x + y – 2z + 1 =0 и

x + y + z – 5 = 0.

Указание: 1 способ. Перпендикулярные каждый своей плоскости векторы (координаты векторов найдены из общих уравнений плоскостей, формула (2.2.1)) перпендикулярны линии их пересечения и, следовательно, параллельны искомой плоскости. Искомая плоскость проходит через точку
параллельно двум векторам
(см. задачу 1 пункт 5).

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

Раскрывая определитель третьего порядка по первой строке, получим искомое уравнение.

2 способ. Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору по формуле (2.2.1). Нормальный векторравен векторному произведению векторов
,т.е.
Так как векторы
перпендикулярны линии пересечения плоскостей, то вектор параллелен линии пересечения плоскостей и перпендикулярен искомой плоскости.

Векторы (см. формулу 2.2.1), тогда

Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору

(см. пример 1 пункт 2.2)

Ответ:

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
и
перпендикулярно плоскости 3x – y + 3z +15 = 0.

Указание: 1 способ. Выпишем координаты нормального вектора данной плоскости

3x – y + 3z +15 = 0:
Так как плоскости перпендикулярны, то векторпараллелен искомой плоскостиСоставим уравнение искомой плоскости
которая параллельна векторуи проходит через точки
(см. решение задачи 2 пункт 5; 1 способ).

Вычисляя определитель, получим уравнение искомой плоскости

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
и вектору нормали
Вектор

Составляем уравнение искомой плоскости .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (см. задачу 2 пункт 5; 2 способ). Разделим обе части уравнения на 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Ответ: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

и

Указание: Составим уравнение плоскости, проходящей через три точки (см. пример 1, пункт 2.3, формула 2.3.1).

Раскрывая определитель, получим

Ответ:

Замечание. Для проверки правильности вычисления определителя рекомендуется в полученное уравнение подставить координаты данных точек, через которые проходит плоскость. Должно получиться тождество; в противном случае в вычислениях допущена ошибка.

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскостиx – 4y + 5z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнение данной плоскости
x – 4y + 5z + 1 = 0 найдем нормальный вектор
(формула 2.2.1). Векторперпендикулярен к искомой плоскости
Составим уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору
(см. пример 1; пункт 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Ответ: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно векторам

Указание: См. решение задачи 1 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x – y – z – 1 = 0.

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3x – 2y – z + 1 = 0 и x – y – z = 0.

Указание: См. решение задачи 4 пункт 5. Решаем задачу одним из указанных способов.

Ответ: x +2y – z – 8 = 0.

10. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

перпендикулярно плоскости 3x – y – 4z = 0.

Указание: См. решение задачи 5 пункт 5.

Ответ: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки

параллельно прямой, определяемой точками A (5; –2; 3) и B (6; 1; 0).

Указание: Искомая плоскость параллельна прямой AB, следовательно, она параллельна вектору
Уравнение искомой плоскостинаходим, как в задаче 2 пункта 5 (одним из способов).

Ответ: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. ТочкаP (2; –1; –2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.

Указание: Нормальным вектором к искомой плоскости является вектор
Найдем его координаты.P (2; –1; –2) и O(0; 0; 0)

т.е.
Составим уравнение плоскостипо точке и нормальному вектору
(см. пример 1, пункт 2.2).

Ответ: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
параллельно плоскости: а)xoy; б) yoz; в) xoz.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиoz перпендикулярен плоскости xoy, следовательно, он перпендикулярен искомой плоскости
Составляем уравнение плоскости по точкеA (0; –1; 2) и

= (0; 0; 1), т.к.
(см. решение задачи 3, пункт 5).
z – 2 = 0.

Аналогично решаем задачи б) и в).

б)
где
(1; 0; 0).

в)
где(0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Ответ: а) z – 2 = 0 ; б) x = 0; в) y + 1 = 0.

14. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 1; –1) перпендикулярно плоскости: а) xoy; б) xoz.

Указание: Нормальным вектором плоскости xoy является вектор

= (0; 0; 1) – единичный вектор оси oz. Составим уравнение плоскости, проходящей через две точки
и B (2; 1; –1) и перпендикулярной плоскости, имеющей нормальный вектор
(0; 0; 1), используя один из способов решения задачи 5 пункта 5.
y – 1 = 0.

Аналогично для задачи б):
где = (0; 1; 0).

Ответ: а) y – 1 = 0 ; б) x + z – 1 = 0.

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
и

B (2; 3; –1) параллельно оси oz.

Указание: На оси oz можно взять единичный вектор = (0; 0; 1). Решение задачи аналогично решению задачи 2 пункт 5 (любым способом).

Ответ : x – y + 1 = 0.

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ox и точку

Указание: Плоскость
проходит через осьox, следовательно, и через точку O(0; 0; 0). На оси ox можно взять единичный вектор = (1; 0; 0). Уравнение искомой плоскости составляем по двум точкамA(2; –1; 6) и O(0; 0; 0) и вектору параллельному плоскости. (См. решение задачи 2 пункт 5).

Ответ: 6y + z = 0.

17. При каком значении А плоскости Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и 2x – y + 2z = 0 будут перпендикулярны?

Указание: Из общих уравнений плоскостей

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 и
2x – y + 2z = 0 векторы нормалей

= (А; 2; –7) и
= (2; –1; 2) (2.2.1). Условие перпендикулярности двух плоскостей(2.6.1).

Ответ: A = 8.

18. При каком значении А плоскости 2x + 3y – 6z – 23 = 0 и

4x + Ay – 12z + 7 = 0 будут параллельны?

Указание:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 и
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) и
= (4;A; –12) (2.2.1). Т.к.
(2.5.1)

Ответ: A = 6.

19. Найти угол между двумя плоскостями 2x + y + z + 7 = 0 и x – 2y + 3z = 0.

Указание:
2x + y + z + 7 = 0 и
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) и
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Ответ :

20. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку

A (1; 2; –3) параллельно вектору =(1; –2; 1).

Указание: См. решение примера пункта 3.1.

Ответ :

21. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

A (–2; 3; 1) параллельно вектору =(3; –1; 2).

Указание: См. решение примера пункта 3.2.

Ответ :
.

22. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A (1; 0; –2) и B (1; 2; –4) .

Указание: См. решение примера 1 пункта 3.3.

Ответ: а)
б)

23. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, заданной как пересечение двух плоскостей x – 2y +3z – 4 = 0 и 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Указание: См. пример 1 пункт 3.4. Пусть z = 0, тогда координаты x и y точки
находим из решения системы

Следовательно, точка
, лежащая на искомой прямой, имеет координаты

(2; –1; 0). Для нахождения направляющего вектора искомой прямой из общих уравнений плоскостей
x – 2y +3z – 4 = 0 и
3x + 2y – 5z – 4 = 0

находим нормальные векторы =(1; –2; 3) и
=(3; 2; –5).

Канонические уравнения прямой находим по точке
(2; –1; 0) и направля-ющему вектору

(См. формулу (3.1.1)).

Параметрические уравнения прямой можно найти по формуле (3.2.1) или из канонических уравнений:
Имеем:

Ответ :
;
.

24. Через точку
(2; –3; –4) провести прямую, параллельную прямой

Указание: Канонические уравнения искомой прямой найдем по точке
и направляющему векторуТак как
то за направляющий векторпрямойможно взять направляющий векторпрямойL. Далее см. решение задачи 23 пункт 5 или пример 1 пункт 3.4.

Ответ :

25. Даны вершины треугольника A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) и C (–1; 3; 5). Найти уравнение медианы треугольника ABC, проведенной из вершины B.

Указание: Координаты точки M найдем из условия AM = MC (BM – медиана треугольника ABC).

Составим канонические уравнения прямойBM по двум точкам B (2; 4; –1) и
(См. пример 1 пункт 3.3).

Ответ :

26. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
(–1; –2; 2) параллельно осиox.

Указание: Вектор
– единичный вектор осиox параллелен искомой прямой. Следовательно, его можно принять за направляющий вектор прямой
= (1; 0; 0). Составим уравнения прямой по точке

(–1; –2: 2) и вектору = (1; 0; 0) (см. пример пункт 3.1 и пример 1 пункт 3.2).

Ответ :
;

27. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку
(3; –2; 4) перпендикулярно плоскости 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Указание: Из общего уравнения плоскости
5x + 3y – 7z + 1 = 0 найдем нормальный вектор = (5; 3; –7). По условию искомая прямая
следовательно, вектор
т.е. векторявляется направляющим вектором прямойL: = (5; 3; –7). Составляем канонические уравнения прямой по точке
(3; –2; 4) и направляющему вектору

= (5; 3; –7). (См. пример пункт 3.1).

Ответ :

28. Составить параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4x – y + 2z – 3 = 0.

Указание: Составим уравнение искомого перпендикуляра, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости
4x – y + 2z – 3 = 0 и проходящей через точку O (0; 0; 0). (См. решение задачи 27 пункт 5 и примера 1 пункт 3.2).

Ответ:

29. Найти точку пересечения прямой
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0.

Указание: Чтобы найти точку M пересечения прямой

L:
и плоскости

x – 2y + z – 15 = 0, надо решить систему уравнений:

;

Для решения системы канонические уравнения прямой преобразуем к параметрическим уравнениям. (См. задачу 23 пункт 5).

Ответ :

30. Найти проекцию точки M (4; –3; 1) на плоскость x + 2y – z – 3 = 0.

Указание: Проекцией точки М на плоскость будет точка P – точка пересечения перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость
и плос-костиСоставим параметрические уравнения пер-пендикуляра МР.(См. решение задачи 28 пункт 5).

Найдем точку Р – точку пересечения прямой МР и плоскости (См. решение задачи 29 пункт 5).

Ответ:

31. Найти проекцию точки А(1; 2; 1) на прямую

Указание: Проекцией точки А на прямую L:
является точкаВ пересечения прямой L и плоскости
которая проходит через точку А и перпендикулярна прямойL. Из канонических уравнений прямой L выпишем направляющий вектор =(3; –1; 2). Плоскостьперпендикулярна прямойL, следовательно,
Таким образом, векторможно взять за нормальный вектор плоскости
= (3; –1; 2). Составим уравнение плоскостипо точке А(1; 2; 1) и= (3; –1; 2) (см. пример 1 пункт 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Найдем точку В пересечения прямой и плоскости (см. задачу 29 пункт 5):

Ответ :

32. Через точку M (3; –1; 0) провести прямую, параллельную двум плоскостям x – y + z – 3 = 0 и x + y + 2z – 3 = 0.

Указание: Плоскости
x – y + z – 3 = 0 и
x + y + 2z – 3 = 0 не параллельны, т.к. не выполняется условие (2.5.1):
Плоскости
пересекаются. Искомая прямаяL, параллельная плоскостям
параллельна линии пересечения этих плоскостей. (См. решение задач 24 и 23 пункт 5).

Ответ :

33. Составить уравнение плоскости, проходящей через две прямые

Указание: 1 способ. Составим уравнение искомой плоскости по точке
, лежащей на прямой, и нормальному вектору. Векторбудет равен векторному произведению направляющих векторов прямых
, которые найдем из канонических уравнений прямых
(формула 3.1.1): = (7; 3; 5) и

= (5; 5; –3)

Координаты точки
найдем из канонических уравнений прямой

Составляем уравнение плоскости по точке
и вектору нормали=(–34; 46; 20) (см. пример 1 пункт 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2 способ. Находим направляющие векторы = (7; 3; 5) и= (5; 5; –3) из канонических уравнений прямых
Точку
(0; 2; –1) находим из уравнения

. Возьмем произвольную точку плоскости

M (x; y; z). Векторы
– компланарны, следовательно,
Из этого условия получаем уравнение плоскости:

Ответ : 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
(2; 0; 1) и прямую

Указание: Убедимся прежде всего, что точка
на данной прямой не лежит:
Точку
и направляющий векторнаходим из канонических уравнений прямой
:
(1; –1; –1) и

= (1; 2; –1). Нормальный вектор искомой плоскости
Координаты нормального вектора найдем, зная координаты=(1; 2; –1) и

= (1; 1; 2):

Составляем уравнение плоскости по точке
(2; 0; 1) и нормальному вектору= (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Ответ : 5x – 3y – z – 9 = 0.

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.