Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Непрерывность функции на интервале и на отрезке Функции на отрезке

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x)

Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума функции `f`.

Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.

Теорема 5.1 (Ферма)

Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`.

Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна.

Замечание.

Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими .

Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие.

Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой.

Определение

Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`.

1) Функция `y=f(x)` возрастает

2) Функция `y=f(x)` убывает на `I`, если для любых `x,yinI`, `xf(y)`.

Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна на промежутке `I`.

Условия монотонности . Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда

1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`;

2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`.

Условия экстремума . Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда

1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`;

2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`.

Пример 5.1

Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения.

Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет.

Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 5.2

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``.

а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`.

б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.

Замечание

Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение.

Пример 5.3

Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`.

Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице:

`y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.

Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении.

Содержание

См. также: Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы

Определения и теоремы

Определение функции, непрерывной на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a и b , соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Определение достижимости максимума (минимума)
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .

Определение достижимости верхней (нижней) грани
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
, то .
Если , то .

Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция . На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани:
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и , принадлежащие , значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: , а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.

Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство

Эта теорема означает, что существуют такие точки и , принадлежащие отрезку : , значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням:
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку , то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .

Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении

Пусть функция непрерывна на отрезке . И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и . Тогда существует точка , для которой
.
непрерывна на отрезке . И пусть . Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

См. также:

Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.).

Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

• 1) Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
• 2) Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
• 3) Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши).

Точки разрыва функции и их классификация

функция непрерывность точка отрезок

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:

1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке.

2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а.

3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. .

Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.

Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке.

Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности.

Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б)

Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке:

Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:

Для точки находим.

Определение . Если функция f (x ) определена на отрезке [a, b ], непрерывна в каждой точке интервала (a, b ), в точке a непрерывна справа, в точке b непрерывна слева, то говорят, что функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ].

Другими словами, функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], если выполнены три условия:

1) "x 0 Î(a, b ): f (x ) = f (x 0);

2) f (x ) = f (a );

3) f (x ) = f (b ).

Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств.

Теорема 1 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения.

Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b ] найдется такая точка x 1 , что f (x 1) £ f (x ) для любых x из [a, b ] и что найдется точка x 2 (x 2 Î[a, b ]) такая, что "x Î[a, b ] (f (x 2) ³ f (x )).

Значение f (x 1) является наибольшим для данной функции на [a, b ], а f (x 2) – наименьшим. Обозначим: f (x 1) = M , f (x 2) = m . Так как для f (x ) выполняется неравенство: "x Î[a, b ] m £ f (x ) £ M , то получаем следующее следствие из теоремы 1.

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2 . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a,b ] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], в которой функция обращается в 0, т.е. $x 0 Î (a, b ) (f (x 0) = 0).

Эта теорема утверждает, что график функции y = f (x ), непрерывной на отрезке [a, b ], пересекает ось Ox хотя бы один раз, если значения f (a ) и f (b ) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f (a ) > 0, f (b ) < 0 и функция f (x ) обращается в 0 в точках x 1 , x 2 , x 3 .

Теорема 3 . Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], f (a ) = A , f (b ) = B и A ¹ B . (рис. 1.17). Тогда для любого числа C , заключенного между числами A и B , найдется такая внутренняя точка x 0 отрезка [a, b ], что f (x 0) = C .

Следствие . Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [a, b ], m – наименьшее значение f (x ), M – наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a, b ], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m , заключенное между m и M , а потому отрезок [m, M ] является множеством всех значений функции f (x ) на отрезке [a, b ].

Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b ) или имеет на отрезке [a, b ] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными.

В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции.

Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.

Теорема 4 . Пусть f (x ) непрерывна на промежутке X , возрастает (или убывает) на X и имеет множеством значений промежуток Y . Тогда для функции y = f (x ) существует обратная функция x = j (y ), определенная на промежутке Y , непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y с множеством значений X .

Замечание . Пусть функция x = j (y ) является обратной для функции f (x ). Так как обычно аргумент обозначают через x , а функцию через y , то запишем обратную функцию в виде y = j (x ).

Пример 1 . Функция y = x 2 (рис. 1.8, а) на множестве X = , если она непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b .

Функция называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть и непрерывной слева в точке , то есть .

Замечание. Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1)

Множество функций, непрерывных на отрезке [ a , b ] обозначается символом C [ a , b ].

Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.

Теорема 1 ( об ограниченности непрерывной функции ). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что " x О [ a , b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C .

Теорема 2 (Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m , т.е. существуют точки α , β О [ a , b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О [ a , b ] (рис.2).

Наибольшее значение M обозначается символом max x О [ a , b ] f (x), а наименьшее значение m — символом min x О [ a , b ] f (x).
Теорема 3 (о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a , b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX (рис.3).

Замечание. На этой теореме основан метод приближенного решения уравнения

f (x) = 0,

(1)

называемый методом бисекции (дихотомии) , или методом половинного деления.

Теорема 4 (Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она принимает на (a , b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).
Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a , b ]. Тогда на отрезке [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) cуществует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α , β).