Метод симпсона плюсы и минусы. Старт в науке. Правило Рунге практической оценки погрешности
В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f
(x j
)), где j
= i
-1; i
-0.5; i
, то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
Проведя интегрирование, получим:
Это и есть формула Симпсона
или формула парабол. На отрезке
[a, b
] формула Симпсона примет вид
Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.
Рис. 10.4. Метод Симпсона
Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:
Тогда формула Симпсона примет вид
Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:
где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).
Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.
10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло
Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.
Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла
При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:
Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.
На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).
(2.23)
Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)
Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S
– число пар точек, попавших под кривую, а N
– общее число пар чисел.
Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:
Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.
11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки :
Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем
-
Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
(3.35)
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
(3.36)
Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.
Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл
Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .
Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона
Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.
Формула
Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :
где , и - значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).
Погрешность
При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:
В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:
Представление в виде метода Рунге-Кутты
Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:
Составная формула (формула Котеса)
Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.
где - величина шага, а - узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в видеТакже формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:
где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле :
.При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:
.Примечания
Литература
- Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
- Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Western Union
- Патагонский попугай
Смотреть что такое "Формула Симпсона" в других словарях:
СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол) формула для приближенного вычисления определенных интегралов (квадратурная формула), Названа по имени Т. Симпсона (1743) … Большой Энциклопедический словарь
СИМПСОНА ФОРМУЛА - (формула парабол), формула для приближённого вычисления определ. интегралов (квадратурная формула), имеющая вид где А = (b а)/2n, fk = f(a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743) …
Симпсона формула - формула для приближённого вычисления определённых интегралов, имеющая вид: , где h = (b а)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. С. ф. называют иногда формулой парабол, т. к. вывод этой формулы основан на… … Большая советская энциклопедия
Симпсона формула - формула парабол, формула для приближённого вычисления определённых интегралов (квадратурная формула), имеющая вид, где h = (b–a)/2n, fk = f(а + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Названа по имени Т. Симпсона (1743). * * * СИМПСОНА ФОРМУЛА СИМПСОНА… … Энциклопедический словарь
Формула прямоугольников
Формула трапеций - Определённый интеграл как площадь фигуры Численное интегрирование (историческое название: квадратура) вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади… … Википедия
СИМПСОНА ФОРМУЛА - частный случай Ньютона Котеса квадратурной формулы, в к рой берутся три узла: Пусть промежуток [а, b]разбит на пчастичных промежутков , i=0, 1, 2, ..., n 1, длины h=(b а)/п, при этом n считается четным числом, и для вычисления интеграла … Математическая энциклопедия
Симпсона формула - … Википедия
Метод Симпсона - Формула Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710 1761). Рассмотрим отрезок . Пусть известны значения вещественной функции f(x) в точках a, (a+b)/2, b.… … Википедия
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА - формула, служа щая для приближённого вычисления определ. интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек. Примеры К. ф. прямоугольников формула, трапеций формула, Симпсона формула … Естествознание. Энциклопедический словарь
Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квадратурных.
Напомним простейшие формулы численного интегрирования.
Вычислим приближенное
численное значение
.
Интервал интегрирования [а, b] разобьем
на п равных частей точками деления
,
называемыми узлами квадратурной
формулы. Пусть в узлах известны значения
:
Величина
называется интервалом интегрирования
или шагом. Отметим, что в практике
-вычислений число я выбирают небольшим,
обычно оно не больше 10-20.На частичном
интервале
подынтегральную функцию заменяют
интерполяционным многочленом
который на рассматриваемом интервале приближенно представляет функцию f (х).
а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда
Полученная квадратная формула
называется формулой прямоугольников.
б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда
(2)
Формула (2) называется формулой трапеций.
в) Интервал
интегрирования
разобьем на четное число 2n равных
частей, при этом шаг интегрирования h
будет равен. На интервале
длиной
2h подынтегральную функцию заменим
интерполяционным многочленом второй
степени, т. е. удержим в многочлене
три первых члена:
Полученная квадратурная формула называется формулой Симпсона
(3)
Формулы (1), (2) и (3)
имеют простой геометрический смысл. В
формуле прямоугольников подынтегральная
функция f(х) на интервале
заменяется
отрезком прямой у = ук, параллельной оси
абсцисс, а в формуле трапеций - отрезком
прямой
и
вычисляется соответственно площадь
прямоугольника и прямолинейной
трапеции, которые затем суммируются.
В формуле Симпсона функция f(х) на
интервале
длиной 2h заменяется квадратным трехчленом
- параболой
вычисляется площадь криволинейной
параболической трапеции, затем площади
суммируются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.
Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.
По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.
Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.
Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:
через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;
через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа
через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа
через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.
Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.
Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.
Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.
Вычисление определенного интеграла от непрерывной функции с помощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда является элементарной функцией или функцией, для которой составлены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция задается таблично и формула Ньютона - Лейбница непосредственно неприменима.
Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона .
Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.
Для построения формулы Симпсона предварительно рассмотрим такую задачу: вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = Ax 2 + Bx + C, слева прямой х = - h, справа прямой x = h и снизу отрезком [-h; h]. Пусть парабола проходит через три точки (рис.8): D(-h; y 0) E(0; y 1) и F(h; y 2), причем х 2 - х 1 = х 1 - х 0 = h. Следовательно,
x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.
Тогда площадь S равна интегралу:
Выразим эту площадь через h, y 0 , y 1 и y 2 . Для этого вычислим коэффициенты параболы А, В, С. Из условия, что парабола проходит через точки D, E и F, имеем:
Решая эту систему, получаем: C = y 1 ; A =
Подставляя эти значения А и С в (3), получаем искомую площадь
Перейдем теперь к выводу формулы Симпсона для вычисления интеграла
Для этого отрезок интегрирования разобьем на 2n равных частей длиной
В точках деления (рис.4).а = х 0 , х 1 , х 2 , ...,х 2n-2 , x 2n-1 , x 2n = b,
Вчисляем значения подынтегральной функции f: y 0 , y 1 , y 2 , ...,y 2n-2 , y 2n-1 , y 2n , де y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).
На отрезке подынтегральную функцию заменяем параболой, проходящей через точки (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) и (x 2 ; y 2), и для вычисления приближенного значения интеграла от х 0 до х 2 воспользуемся формулой (4). Тогда (на рис. 4 заштрихованная площадь):
Аналогично находим:
................................................
Сложив полученные равенства, имеем:
Формула (5) называется обобщенной формулой Симпсона или формулой парабол , так как при ее выводе график подынтегральной функции на частичном отрезке длины 2h заменяется дугой параболы.
Задание на работу:
1. По указанию преподавателя или в соответствии с вариантом из Таблицы 4 заданий (см. Приложение) взять условия – подынтегральную функцию, пределы интегрирования.
2. Составить блок-схему программы и программу, которая должна:
Запросить точность вычисления определенного интеграла, нижний и верхний пределы интегрирования;
Вычислить заданный интеграл методами: для вариантов 1,4,7, 10… - правых, для вариантов 2,5,8,… - средних; для вариантов 2,5,8,… - левых прямоугольников. Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вычислить заданный интеграл методом трапеций (для четных вариантов) и методом Симпсона (для нечетных вариантов).
Вывести количество разбиений диапазона интегрирования, при котором достигнута заданная точность вычисления;
Вывести значения контрольной функции для заданного значения аргумента и сравнить с вычисленными значениями интеграла. Сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Что такое определенный интеграл?
2. Почему наряду с аналитическими методами используются численные методы вычисления определенных интегралов.
3. В чем заключается сущность основных численных методов вычисления определенных интегралов.
4. Влияние количества разбиений на точность вычисления определенного интеграла численными методами.
5. Как вычислить интеграл любым методом с заданной точностью?