Найти центростремительное ускорение по окружности. Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью; период и частота; центростремительное ускорение. Примеры задач с решением

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным , оно является равноускоренным .

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1 . Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2 . При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T - это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение - это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено - это есть период T . Путь , который преодолевает точка - это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v A и v B соответственно. Ускорение - изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Задача на применение уравнения состояния идеального газа

Билет 4

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью; период и частота; центростремительное ускорение.

При равномерном движения тела по окружности модуль скорости остается постоянным, а направление вектора скорости изменяется в процессе движения. Движение тела по окружности можно описать, задав угол поворота радиуса. Угол поворота измеряется в радианах. Отношение угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течении которого совершен этот поворот называют угловой скоростью: ω = φ / t . Линейной скоростью называют отношение длины пройденного пути l к промежутку времени t: v = l / t. Между линейной и угловой скоростью существует следующее соотношение: v =ω · R. При движении тела по окружности направление скорости меняется, следовательно, тело движется с ускорением, которое называется центростремительным: a =v 2 /R. Движение по окружности характеризуется периодом и частотой. Период-время одного оборота. Частота-число оборотов за одну секунду. Между периодом и частотой существует соотношение: T = 1 / υ . Частоту и период можно найти через угловую скорость.: ω =2 · π · υ = 2 · π / T.

2.Электрический ток в растворах и расплавах электролитов: закон Фарадея; определение заряда одновалентного иона; технические применения элек­тролиза.

Электролиты – водные растворы солей, кислот и щелочей. Электролитическая диссоциация - процесс распад молекул электролитов на ионы при растворении электролитов под влиянием электрического поля полярных молекул воды. Степень диссоциации , т.е. доля молекул в растворенном веществе, распавшихся на ионы, зависит от температуры, концентрации раствора и диэлектрической проницаемости растворителя. С увеличением температуры степень диссоциации возрастает и, следовательно, увеличивается концентрация положительно и отрицательно заряженных ионов. Ионы разных знаков при встрече могут снова объединится в нейтральные молекулы – рекомбинировать. Носителями заряда в водных растворах или расплавах электролитов являются положительно или отрицательно заряженные ионы. Поскольку перенос заряда в водных растворах или расплавах электролитов осуществляется ионами, такую проводимость называют ионной. Электрический ток в растворах и расплавах электролитов - это упорядоченное движение положительных ионов к катоду, а отрицательных ионов к аноду.

Электролизом называют процесс выделения на электроде чистого вещества, связанный с окислительно-восстановительными реакциями.

Фарадей сформулировал закон электролиза: m = q · t.

Масса вещества, выделяющегося из электролита на электродах, оказывается тем большей, чем больший заряд прошел через электролит q, или I · t, где I – сила тока, t – время его прохождения через электролит. Коэффициент k, превращающий эту пропорциональность в равенство m =k · I · t, называется электрохимическим эквивалентом вещества.

Электролиз применяется:

1. Гальванопластика, т.е. копирование рельефных предметов.

2. Гальваностегия, т.е. нанесение на металлические изделия тонкого слоя другого металла (хром, никель, золото).

3. Очистка металлов от примесей (рафинирование металлов).

4. Электрополировка металлических изделий. При этом изделие играет роль анода в специально подобранном электролите. На микронеровностях (выступах) на поверхности изделия повышается электрический потенциал, что способствует их первоочередному растворению в электролите.

5. Получение некоторых газов (водород, хлор).

6. Получение металлов из расплавов руд. Именно так добывают алюминий.

Задача на применение газовых законов.

Билет 5

1. Первый закон Ньютона: инерциальная систе­ма отсчёта.

Первый закон Ньютона: существуют системы отсчета, относительно которых тело сохраняет свою скорость неизменной, если на него не действуют другие тела или действия других тел компенсируют друг друга. Такие системы отсчета называются инерциальными. Таким образом, все тела, на которые не действуют другие тела, движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, а система отсчета, связанная с любым из них, является инерциальной. Первый закон Ньютона называют иногда законом инерции (инерция - явление, состоящее в том, что скорость тела остается неизменной при отсутствии внешних воздействий на тело или их компенсации).

2. Электрический ток в полупроводниках: зави­симость сопротивления полупроводников от внешних условий; собственная проводимость полупроводни­ков; донорные и акцепторные примеси; р-п-пере-ход; полупроводниковые диоды.

К полупроводникам относятся вещества, удельное сопротивление кото­рых является промежуточным между проводниками и диэлектриками. Про­водимость чистых полупроводников в отсутствие примесей называют соб­ственной проводимостью , так как она определяется свойствами самого по­лупроводника. Существует два механизма собственной проводимости - электронная и дырочная. Электронная проводимость осуществляется направленным перемеще­нием в межатомном пространстве свободных электронов, покинувших ва­лентную оболочку атома в результате нагревания полупроводника или под действием внешних полей. Дыркой называется вакантное электронное состояние в атоме, образовавшееся при возник­новении свободного электрона, обладает-положительным зарядом.. Валентный электрон соседнего атома, притягиваясь к дырке, может перескочить в нее (рекомбинировать). При этом на его прежнем месте образуется новая дырка, которая затем может аналогично переме­щаться по кристаллу.

Дырочная проводимость осуществляется при направ­ленном перемещении валентных электронов между электронными оболоч­ками соседних атомов на вакантные места (дырки).

Собственная проводи­мость полупроводников обычно невелика, так как мало число свободных зарядов.

Примеси в полупроводнике - атомы посторонних химических элемен­тов, содержащиеся в основном полупроводнике. Дозированное введение в чистый полупроводник примесей позволяет целенаправленно изменять его проводимость. Примесная проводимость - проводимость полупроводни­ков, обусловленная внесением в их кристаллическую решетку примесей. Изменяя концентрацию атомов примесей, можно значительно изменить число носителей заряда того или иного знака. Знак носителей заряда опре­деляется валентностью атомов примесей. Различают донорные и акцепторные примеси . Валентность атомов донорной примеси больше валентности основного полупроводника (например-мышьяк). Валент­ность атомов акцепторной примеси меньше валентности основного полу­проводника (пример- индий). Полупроводник с донорной примесью называют полупроводником п-типа , так как он обладает преимущественно электронной проводимо­стью.

По­лупроводник с акцепторной примесью называют полупроводником р-типа , так как дырка имеет поло­жительный заряд. В месте контакта примесных полупроводников образуется особый слой р- n - переход -контактный слой двух примесных полупроводников р- и п- типа. Характерной особенностью p-n-перехода является его односторон­няя проводимость: он пропускает ток практически только в одном направ­лении. Напряженность поля этого запирающего слоя направлена от п- к р- полупроводнику (от плюса к минусу), препятствуя дальнейшему разде­лению зарядов. Запирающий слой - двойной слой разноименных электрических заря­дов, создающий электрическое поле на переходе, препятствующее сво­бодному разделению зарядов.

Полупроводниковый диод - элемент электрической системы, содер­жащий р-п-переход и два вывода для включения в электрическую цепь.

Способность р-п-перехода пропускать ток практически только в од­ном направлении используют для преобразования (с помощью диода) переменного тока, изменяющего свое направление, в постоянный (точнее пульсирующий) ток одного направления.

Транзистор - полупроводниковый прибор с двумя р-п-переходами и тремя выводами для включения в электрическую цепь. Служит для преобразования или усиления переменного тока в эл. схемах.

Транзистор образует три тонких слоя примесных полупроводников: эмиттер, базу и коллектор. Эмиттер-источник свободных элек­тронов, изготавливают из полупроводника п-типа. База регулирует силу тока в транзисторе, представляет собой тонкий слой (толщиной порядка 10 мкм) полупроводника р-типа. Коллектор, перехватывающий поток носителей заряда, от эмиттера через базу, изготавливают из полупроводника п-типа. Транзистор используют в генераторах на транзисторах для получения Электрических колебаний высокой частоты. Полупроводники малогабаритны, поэтому они находят широкое применение в интегральных схемах, являясь их составной частью. Компьютеры, радио, телевидение, космическая связь, системы автоматики созданы на базе этих схем и могут содержать до миллиона диодов и транзисторов.

3. Экспериментальное задание: «Измерение влажности воздуха с помощью психрометра».

Билет 6

1. Второй закон Ньютона: понятие о массе и силе, принцип суперпозиции сил; формулировка второго за­кона Ньютона; классический принцип относитель­ности.

Взаимодействия отличаются друг от друга и количественно, и качественно. Например, ясно, что чем больше деформируется пружина, тем больше взаимодействие ее витков. Или чем ближе два одноименных заряда, тем сильнее они будут притягиваться. В простейших случаях взаимодействия количественной характеристикой является сила. Сила - причина ускорения тел (в инерциальной системе отсчета). Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой ускорения, приобретаемого телами при взаимодействии. Равнодействующей нескольких сил называют силу, действие которой эквивалентно действию тех сил, которые она заменяет. Равнодействующая является векторной суммой всех сил, приложенных к телу.
Второй закон Ньютона: векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этому телу ускорение: F= m · a

Сила величиной в 1 ньютон сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 .

Таким образом, все тела обладают свойством инертности, состоящим в том, что скорость тела нельзя изменить мгновенно. Мерой инертности тела является его масса: чем больше масса тела, тем большую силу надо приложить, чтобы сообщить ему то же ускорение.

2. Магнитное поле: понятие о магнитном поле; магнитная индукция; линии магнитной индукции, магнитный поток; движение заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Взаимодействия между проводниками с током, т. е. взаимодействия между движущимися электрическими зарядами, называют магнитными . Силы, с которыми проводники с током действуют друг на друга, называют магнитными силами .

Магнитное поле представляет собой особую форму материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися электрически заряженными частицами.

Свойства магнитного поля:

1. Магнитное поле порождается электрическим током (движущимися зарядами).

2. Магнитное поле обнаруживается по действию на электрический ток (движущиеся заряды).

Подобно электрическому полю, магнитное поле существует реально, независимо от нас, от наших знаний о нем.

Магнитная индукция В– способность магнитного поля оказывать силовое действие на проводник с током (векторная величина). Измеряется в Тл (Тесла).

За направление вектора магнитной индукции принимается :

• направление от южного полюса S к северному N магнитной стрелки, свободно устанавливающейся в магнитном поле. Это направление совпадает с направлением положительной нормали к замкнутому контуру с током.
• направление вектора магнитной индукции устанавливают с помощью правила буравчика :

если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Линии магнитной индукции - графическое изображение магнитного поля.

Линия, в любой точке которой вектор магнитной индукции направлен по касательной – линии магнитной индукции. Однородное поле – параллельные линии, неоднородное поле – кривыми линиями. Чем больше линий, тем больше сила этого поля. Поля с замкнутыми силовыми линиями называют вихревыми. Магнитное поле - вихревое поле.

Магнитный поток –величина равная произведению модуля вектора магнитной индукции на площадь и на косинус угла между вектором и нормалью к поверхности.

Сила Ампера –сила, действующая на проводник в магнитном поле, равна произведению вектора магнитной индукции на силу тока, длину участка проводника и на синус угла между магнитной индукцией и участком проводника.

где l – длина проводника, B – вектор магнитной индукции, I – сила тока.

Силу Ампера применяют в громкоговорителях, динамиках.

Принцип работы: По катушке протекает переменный электрический ток с частотой, равной звуковой частоте от микрофона или с выхода радиоприемника. Под действием силы Ампера катушка колеблется вдоль оси громкоговорителя в такт с колебаниями тока. Эти колебания передаются диафрагме, и поверхность диафрагмы излучает звуковые волны.

Сила Лоренца - сила, действующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.

Сила Лоренца. Поскольку ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов, то естественно предположить, что сила Ампера является равнодействующей сил, действующих на отдельные заряды, движущиеся в проводнике. Опытным путём установлено, что на заряд, движущийся в магнитном поле, действительно действует сила. Эту силу называют силой Лоренца. Модуль F л силы находится по формуле

где В - модуль индукции магнитного поля, в котором движется заряд, q и v - абсолютная величина заряда и его скорость, а- угол между векторами v и В.

Эта сила перпендикулярна к векторам v и В, её направление находится по правилу левой руки : если руку расположить так, чтобы четыре вытянутых пальца совпадали с направлением движения положительного заряда, линии индукции магнитного поля входили в ладонь, то отставленный на 900 большой палец показывает направление силы. В случае отрицательной частицы направление силы противоположное.

Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы, то она не совершает работу.

Силу Лоренца применяют в телевизорах, масс-спектрограф.

Принцип работы: Вакуумная камера прибора помещена в магнитное поле. Ускоренные электрическим полем заряженные частицы (электроны или ионы), описав дугу, попадают на фотопластинку, где оставляют след, позволяющий с большой точностью измерить радиус траектории. По этому радиусу определяется удельный заряд иона. Зная же заряд иона, легко определить его массу.

3. Экспериментальное задание: «Построение графика зависимости температуры от времени остывания воды».

Билет 7

1. Третий закон Ньютона: формулировка; харак­теристика сил действия и противодействия: модуль, направление, точка приложения, природа.

Третий закон Ньютона: тела взаимодействуют друг с другом с силами, направленными вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по

направлению: F 12 = - F 21 .

Силы, входящие в III закон Ньютона, имеют одинаковую физическую природу и не компенсируют друг друга, т.к. приложены к разным телам. Таким образом, силы всегда существуют парами: например, сила тяжести, действующая на человека со стороны Земли, связана по III закону Ньютона с силой, с которой человек притягивает Землю. Эти силы равны по величине, но ускорение Земли во много раз меньше, чем ускорение человека, поскольку ее масса намного больше.

2.Закон электромагнитной индукция Фарадея; правило Ленца; явление самоиндукции; индуктив­ность; энергия магнитного поля.

Фарадей в1831 году установил, что э.д.с. индукции не зависит от способа изменения магнитного потока и определяется только быстротой его изменения, т.е.

Закон электромагнитной индукции : ЭДС индукции в проводнике равна быстроте изменения магнитного потока, пронизывающего площадь, охватываемую проводником. Знак минус в формуле, является математическим выражением правила Ленца.

Известно, что магнитный поток является алгебраической величиной. Примем магнитный поток, пронизывающий площадь контура, положительным. При увеличении этого потока возникает э.д.с. индукции, под действием которой появляется индукционный ток, создающий собственное магнитное поле, направленное навстречу внешнему полю, т.е. магнитный поток индукционного тока отрицателен. Если же поток, пронизывающий площадь контура, уменьшается, то, т.е. направление магнитного поля индукционного тока совпадает с направлением внешнего поля.

Рассмотрим один из опытов , проведённых Фарадеем, по обнаружению индукционного тока, а следовательно, и э.д.с. индукции. Если в соленоид, замкнутый на очень чувствительный электроизмерительный прибор (гальванометр), вдвигать или выдвигать магнит, то при движении магнита наблюдается отклонение стрелки гальванометра, свидетельствующее о возникновении индукционного тока. То же самое наблюдается при движении соленоида относительно магнита. Если же магнит и соленоид неподвижны относительно друг друга, то и индукционный ток не возникает. Из приведённого опыта следует вывод, что при взаимном движении указанных тел происходит изменение магнитного потока через витки соленоида, что и приводит к появлению индукционного тока, вызванного возникающей э.д.с. индукции.

Направление индукционного тока определяется правилом Ленца : индукционный ток всегда имеет такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, которое вызывает этот ток.

Из этого правила следует, что при возрастании магнитного потока возникающий индукционный ток имеет такое направление, чтобы порождаемое им магнитное поле было направлено против внешнего поля, противодействуя увеличению магнитного потока. Уменьшение магнитного потока, наоборот, приводит к появлению индукционного тока, создающего магнитное поле, совпадающее по направлению с внешним полем.

Применение электромагнитной индукции в технике, в промышленности, для получения электроэнергии на электростанциях, разогрев и плавление проводящих материалов (металлов) в индукционных электропечах и т.д.

3.Экспериментальное задание: «Исследование зависимости периода и частоты свободных колебаний математического маятника от длинны нити».

Билет 8

1. Импульс тела. Закон сохранения импульса: импульс тела и импульс силы; выражение второго закона Ньютона с помощью понятий изменения импульса тела и импульса силы; закон сохранения им­пульса; реактивное движение.

Импульсом тела называют векторную физическую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел. Импульс обозначается р. Импульс тела равен произведению массы тела на его скорость: р = m · v. Направление вектора импульса р совпадает с направлением вектора скорости тела v. Единица измерения импульса - кг м/с.
Для импульса системы тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем. В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в нее. В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае p1 = р2, где p1- начальный импульс системы, а р2 - конечный. В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ´ + m 2 v 2 ´ , где m1 и m2 - массы тел, а v1 и v2 - скорости до взаимодействия, v1´ и v2´ - скорости после взаимодействия. Эта формула и является математическим выражением закона сохранения импульса: импульс замкнутой физической системы сохраняется при любых взаимодействиях, происходящих внутри этой системы.
В механике закон сохранения импульса и законы Ньютона связаны между собой. Если на тело массой т в течение времени t действует сила и скорость его движения изменяется от v0 до v, то ускорение движения а тела равно Ha основании второго закона Ньютона для силы F можно записать , отсюда следует

, где Ft - векторная физическая величина, характеризующая действие на тело силы за некоторый промежуток времени и равная произведению силы на время ее действия, называется импульсом силы. Единица импульса силы в СИ - Н*с.
Закон сохранения импульса лежит в основе реактивного движения.

Реактивное движение - это такое движение тела, которое возникает после отделения от тела его части.

Пусть тело массой т покоилось. От тела отделилась со скоростью v1 какая-то его часть массой т1. Тогда оставшаяся часть придет в движение в противоположную сторону со скоростью ν2, масса оставшейся части т2. Действительно, сумма импульсов обеих частей тела до отделения была равна нулю и после разделения будет равна нулю:

Большая заслуга в развитии реактивного движения принадлежит К.Э. Циолковскому

2. Колебательный контур. Свободные электро­магнитные колебания: затухание свободных колеба­ний; период электромагнитных ко­лебаний.

Электромагнитные колебания – это периодическое изменение заряда, силы тока или напряжения.

Происходят эти изменения по гармоническому закону:

Для заряда q =q m ·cos ω 0 ·t; для силы тока i = i m ·cos ω 0 ·t; для напряжения u =u m · cos ω 0 ·t, где

q -изменение заряда, Кл (Кулон), u –изменение напряжения, В (Вольт), i - изменение силы тока, А (Ампер), q м -амплитуда заряда, i m - амплитуда силы тока; u m - амплитуда напряжения; ω 0 -циклическая частота, рад/с; t –время.

Физические величины, характеризующие колебания:

1. Период- время одного полного колебания. Т, с

2. Частота- количество колебаний, совершенных за 1 секунду, Гц

3. Циклическая частота- количество колебаний, совершенных за 2 π секунд, рад/c.

Электромагнитные колебания бывают свободными и вынужденными.:

Свободные эл. магнитные колебания возникают в колебательном контуре и являются затухающими. Вынужденные эл. магнитные колебания создаются генератором.

Если э.л.м. колебания возникают в контуре из катушки индуктивности и конденсатора, то переменное магнитное поле оказывается связанным с катушкой, а переменное электрическое поле – сосредоточенным в пространстве между пластинами конденсатора. Колебательным контуром называют закрытое соединение катушки и конденсатора. Колебания в контуре протекают по гармоническому закону, а период колебаний определяется по формуле Томсона. T = 2·π·

Увеличение периода э.л.м. колебаний с ростом индуктивности и емкости объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше ёмкость тем больше время требуется для перезарядки конденсатора.

3. Экспериментальное задание: «Определение показателя преломления пластмассы».

Два луча, исходящие из нее, формируют угол. Его значение может быть определено как в радианах, так и в градусах. Теперь на некотором расстоянии от точки-центра мысленно проведем окружность. Мера угла, выраженная в радианах, в таком случае представляет собой математическое отношение длины дуги L, отделенной двумя лучами, к значению расстояния между центральной точкой и линией окружности (R), то есть:

Если теперь представить описанную систему материальной, то к ней можно применить не только понятие угла и радиуса, но также центростремительное ускорение, вращение и т.д. Большинство из них описывают поведение точки, находящейся на вращающейся окружности. Кстати, сплошной диск также может быть представлен набором окружностей, различие которых лишь в расстоянии от центра.

Одна из характеристик подобной вращающейся системы - это период обращения. Он указывает на значение времени, за которое точка на произвольной окружности возвратится к начальному положению или, что также верно, обернется на 360 градусов. При неизменной скорости вращения выполняется соответствие T = (2*3.1416) / Ug (здесь и далее Ug - угол).

Частота вращения указывает на количество полных оборотов, выполняемых за 1 секунду. При неизменной скорости получаем v = 1 / T.

Зависит от времени и так называемого угла поворота. То есть, если взять за начало отсчета произвольную точку А на окружности, то при вращении системы эта точка сместится до А1 за время t, образовав угол между радиусами А-центр и А1-центр. Зная время и угол, можно вычислить угловую скорость.

А раз есть окружность, движение и скорость, значит, присутствует и центростремительное ускорение. Оно представляет собой одну из составляющих, описывающих перемещение в случае криволинейного движения. Термины «нормальное» и «центростремительное ускорение» идентичны. Отличие в том, что второй применяют для описания перемещения по кругу, когда вектор ускорения направлен к центру системы. Поэтому всегда необходимо знать, как именно двигается тело (точка) и его центростремительное ускорение. Определение его следующее: оно является быстротой изменения скорости, вектор которого направлен перпендикулярно направлению вектору и изменяет направленность последнего. В энциклопедии указано, что изучением данного вопроса занимался Гюйгенс. Формула центростремительного ускорения, предложенная им, выглядит как:

Acs = (v*v) / r,

где r - радиус кривизны пройденного пути; v - скорость перемещения.

Формула, по которой рассчитывают центростремительное ускорение, до сих пор вызывает жаркие споры среди энтузиастов. К примеру, недавно была озвучена любопытная теория.

Гюйгенс, рассматривая систему, исходил из того, что тело перемещается по кругу радиуса R со скоростью v, замеренной в начальной точке А. Так как вектор инерции направлен по то получается траектория в виде прямой АБ. Однако центростремительная сила удерживает тело на кругу в точке С. Если обозначить центр за О и провести линии АБ, БО (сумма БС и СО), а также АО, то получается треугольник. В соответствии с законом Пифагора:

БС=(a*(t*t)) / 2, где а - ускорение; t - время (a*t*t - это и есть скорость).

Если теперь использовать формулу Пифагора, то:

R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, где R - радиус, а буквено-цифровое написание без знака умножения - степень.

Гюйгенс допустил, что, так как время t мало, то его можно в расчетах не учитывать. Преобразовав предыдущую формулу, она пришел к известной Acs = (v*v) / r.

Однако так как время взято в квадрате, то возникает прогрессия: чем больше t, тем выше погрешность. Например, для 0.9 оказывается неучтенными почти итогового значения 20%.

Понятие центростремительного ускорения важно для современной науки, но, очевидно, что в этом вопросе еще рано ставить точку.

Пусть материальная точка равномерно движется по окружности. Тогда модуль ее скорости не изменяется ($v=const$). Но это не значит, что ускорение материальной точки равно нулю. Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки. При перемещении по окружности скорость изменяет свое направление постоянно. Значит, точка движется с ускорением.

Рассмотрим точки A и B принадлежащие траектории движения рассматриваемого тела. Вектор изменения скорости для этих точек равен:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}"-\overline{v}\left(1\right).\]

Если время движения, между точками A и B мало, то дуга AB мало отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, следовательно:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{r}=\alpha \left(2\right).\]

Модуль среднего ускорения найдем как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{r\Delta t}\left(3\right).\]

Величину мгновенного ускорения можно получить, перейдя к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle $:

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(5\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac{\pi }{2}$.

Мы получили, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, имеет ускорение, направленное к центру траектории движения (перпендикулярное вектору скорости), его модуль равен скорости в квадрате, деленной на радиус окружности. Такое ускорение называют центростремительным или нормальным , обозначают его обычно ${\overline{a}}_n$.

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot r$).

Определение центростремительного ускорения

Определение

И так, центростремительное ускорение (в общем случае) - это составляющая полного ускорения материальной точки, которая характеризует, как быстро изменяется направление вектора скорости при криволинейном перемещении. Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости.

Центростремительное ускорение равно:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{r^2}\overline{r\ }\left(7\right),\]

где $e_r=\frac{\overline{r\ }}{r}$ - единичный вектор, направленный от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке.

Впервые верные формулы для центростремительного ускорения были получены Х. Гюйгенсом.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

\[\left=\frac{м}{с^2}.\]

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Диск вращается вокруг неподвижной оси. Закон изменения угла поворота радиуса диска задает уравнение: $\varphi =5t^2+7\ (рад)$. Чему равно центростремительное ускорение точки A диска, которая находится на расстоянии $r=$0,5 м от оси вращения к окончанию четвертой секунды от начала вращения?

Решение. Сделаем рисунок.

Модуль центростремительного ускорения равен: \

Угловую скорость вращения точки найдем как:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\ (1.2)\]

уравнение изменения угла поворота в зависимости о времени:

\[\omega =\frac{d\left(5t^2+7\right)}{dt}=10t\ \left(1.3\right).\]

В конце четвертой секунды угловая скорость равна:

\[\omega \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Используя выражение (1.1) найдем величину центростремительного ускорения:

Ответ. $a_n=800\frac{м}{с^2}$.

Пример 2

Задание. Движение материальной точки задается при помощи уравнения: $\overline{r}\left(t\right)=0,5\ (\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin (\omega t)\ }\ })$, где $\omega =2\ \frac{рад}{с}$. Какова величина нормального ускорения точки?

Решение. За основу решения задачи примем определение центростремительного ускорения в виде:

Из условий задачи видно, что траекторией движения точки является окружность. В параметрическом виде уравнение: $\overline{r}\left(t\right)=0,5\ (\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin (\omega t)\ }\ })$, где $\omega =2\ \frac{рад}{с}$ можно представить как:

\[\left\{ \begin{array}{c} x=0,5{\cos \left(2t\right);;\ } \\ y=0,5{\sin \left(2t\right).\ } \end{array} \right.\]

Радиус траектории можно найти как:

Компоненты скорости равны:

\ \

Получим модуль скорости:

Подставим величину скорости и радиус окружности в выражение (2.2), имеем:

Ответ. $a_n=2\frac{м}{с^2}$.

Центростремительное ускорение - компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение , характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение ». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой .

Наиболее простым примером центростремительного ускорения является вектор ускорения при равномерном движении по окружности (направленный к центру окружности).

Осестремительное ускорение в проекции на плоскость, перпендикулярную оси, предстаёт как центростремительное.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R {\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{R}}\ } a n = ω 2 R , {\displaystyle a_{n}=\omega ^{2}R\ ,}

  где a n {\displaystyle a_{n}\ } - нормальное (центростремительное) ускорение, v {\displaystyle v\ } - (мгновенная) линейная скорость движения по траектории, ω {\displaystyle \omega \ } - (мгновенная) угловая скорость этого движения относительно центра кривизны траектории, R {\displaystyle R\ } - радиус кривизны траектории в данной точке. (Связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая v = ω R {\displaystyle v=\omega R\ } ).

  Выражения выше включают абсолютные величины. Их легко записать в векторном виде, домножив на e R {\displaystyle \mathbf {e} _{R}} - единичный вектор от центра кривизны траектории к данной её точке:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R {\displaystyle \mathbf {a} _{n}={\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{R}={\frac {v^{2}}{R^{2}}}\mathbf {R} } a n = ω 2 R . {\displaystyle \mathbf {a} _{n}=\omega ^{2}\mathbf {R} .}

  Эти формулы равно применимы к случаю движения с постоянной (по абсолютной величине) скоростью, так и к произвольному случаю. Однако во втором надо иметь в виду, что центростремительное ускорение не есть полный вектор ускорения, а лишь его составляющая, перпендикулярная траектории (или, что то же, перпендикулярная вектору мгновенной скорости); в полный же вектор ускорения тогда входит еще и тангенциальная составляющая (тангенциальное ускорение ) a τ = d v / d t {\displaystyle a_{\tau }=dv/dt\ } , по направлению совпадающее с касательной к траектории (или, что то же, с мгновенной скоростью) .

  Мотивация и вывод

  То, что разложение вектора ускорения на компоненты - одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) - может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе. При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение. Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

  Формальный вывод

  Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости , представленный в виде v = v e τ {\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной e τ {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }} :

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

  Здесь использовано обозначение для единичного вектора нормали к траектории и l {\displaystyle l\ } - для текущей длины траектории ( l = l (t) {\displaystyle l=l(t)\ } ); в последнем переходе также использовано очевидное

  d l / d t = v {\displaystyle dl/dt=v\ }

  и, из геометрических соображений,

  d e τ d l = e n R . {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.} v 2 R e n {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

  Нормальным (центростремительным) ускорением. При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта, что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что e n {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } - действительно вектор нормали) - будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, - достаточно простой факт; в данном случае мы применяем это утверждение для d e τ d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

  Замечания

  Легко заметить, что абсолютная величина тангенциального ускорения зависит только от путевого ускорения, совпадая с его абсолютной величиной, в отличие от абсолютной величины нормального ускорения, которая от путевого ускорения не зависит, зато зависит от путевой скорости.

  Приведенные здесь способы или их варианты могут быть использованы для введения таких понятий, как кривизна кривой и радиус кривизны кривой (поскольку в случае, когда кривая - окружность, R {\displaystyle R} совпадает с радиусом такой окружности; не слишком трудно также показать, что окружность в плоскости e τ , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{\tau },\,e_{n}} с центром в направлении e n {\displaystyle e_{n}\ } от данной точки на расстоянии R {\displaystyle R} от неё - будет совпадать с данной кривой - траекторией - с точностью до второго порядка малости по расстоянию до данной точки).

  История

  Первым правильные формулы для центростремительного ускорения (или центробежной силы) получил, по-видимому, Гюйгенс . Практически с этого времени рассмотрение центростремительного ускорения входит в обычную технику решения механических задач и т.д.

  Несколько позже эти формулы сыграли существенную роль в открытии закона всемирного тяготения (формула центростремительного ускорения использовалась для получения закона зависимости гравитационной силы от расстояния до источника гравитации, исходя из выведенного из наблюдений третьего закона Кеплера).

  К XIX веку рассмотрение центростремительного ускорения становится уже совершенно рутинным как для чистой науки, так и для инженерных приложений.