Суждением не будет являться выражение. Суждения в логике. Что такое суждение, виды суждений. Языковая форма суждения

Человека, которая является неотъемлемым элементом всякого познания. Особенно если данный процесс связан с размышлениями, выводами и построением доказательств. В логике суждение также определяют словом "высказывание".

Суждение как понятие

Имея только одни понятия и представления без возможности их соединения либо связи, могли бы люди прийти к познанию чего-либо? Ответ однозначный: нет. Познание возможно исключительно в тех случаях, когда оно имеет отношение к истинности или ложности. А вопрос об истине и лжи возникает только при наличии какой-либо связи между понятиями. Объединение между ними устанавливается только в момент суждения о чём-либо. К примеру, произнося слово «кошка», которое не несёт в себе ни истинности, ни ложности, мы имеем в виду только понятие. Суждение «кошка имеет четыре лапы» - это уже высказывание, являющееся либо правдивым, либо нет и имеющее утвердительную или отрицательную оценку. К примеру: «Все деревья зелёные»; «Некоторые птицы не летают»; «Ни один дельфин - не рыба»; «Некоторые растения не являются съедобными».

Построение суждения создаёт основу, которая считается действительной. Это позволяет двигаться в размышлениях к истине. Суждение позволяет отразить связь между явлениями и предметами или между свойствами и признаками. К примеру: «Вода при замерзании расширяется» - фраза выражает взаимосвязь объёмов вещества и температуры. Это позволяет установить соотношение между различными понятиями. Суждения содержат утверждение либо отрицание связи между событиями, предметами, явлениями. К примеру, когда говорят: «Машина едет вдоль дома» - имеют в виду определённую пространственную связь между двумя объектами (машиной и домом).

Суждения - это мыслительная форма, имеющая в себе утверждение или отрицание существования предметов (понятий), а также связи между предметами или понятиями, объектами и их признаками.

Языковая форма суждения

Так же как понятия не существуют вне слов либо словосочетаний, так и высказывания невозможны вне предложений. При этом не всякое предложение является суждением. Любое высказывание в языковом виде выражается в повествовательной форме, несущей сообщение о чем-либо. Предложения, не имеющие отрицания или утверждения (вопросительные и побудительные), то есть те, которые невозможно охарактеризовать как истинные или ложные, не являются суждениями. Высказывания, описывающие будущие возможные события, также невозможно оценить как несущие в себе ложь или истину.

И всё же существуют такие предложения, которые по форме выглядят как вопрос или восклицание. Но по смыслу они утверждают или отрицают. Они носят название риторических. Например: «Какой русский не любит быстрой езды?» - это риторическое вопросительное предложение, которое опирается на конкретное мнение. Суждение в этом случае содержит утверждение, что всякий русский любит быструю езду. То же самое касается и восклицательных предложений: «Попробуй найти снег в июне!» В данном случае утверждается мысль о невозможности предполагаемого действия. Такая конструкция также является высказыванием. Аналогично предложениям суждения могут быть простыми и сложными.

Структура суждения

Простое высказывание не имеет определённой части, которую можно выделить. Его составными частями являются ещё более простые структурные компоненты, называющие понятия. С точки зрения смысловой единицы простое суждение является самостоятельным звеном, обладающим значением истинности.

Высказывание, связывающее предмет и его признак, содержит первое и второе понятие. Предложения такого типа включают в себя:

• - Слово, отражающее предмет суждения - это субъект, обозначающийся S.
• - Предикат - отражает признак предмета, его обозначают литерой Р.
• - Связку - слово, призванное соединять оба понятия между собой («есть», «является», «не есть», не является»). В русском языке для этого можно использовать тире.

  «Эти животные - хищники» - простое суждение.

  

  Виды суждений

  Простые высказывания классифицируют по:

  • качеству;
  • количеству (по объёму субъекта);
  • содержанию предиката;
  • модальности.

  Суждения по качеству

  Одной из основных, важных логических характеристик является качество. Сущность в этом случае проявляется в способности раскрывать отсутствие либо наличие тех или иных отношений между понятиями.

  В зависимости от качества такой связки различают две формы суждений:

  • - Утвердительная. Раскрывает наличие некой связи между субъектом и предикатом. Общая формула такого утверждения имеет вид: «S есть Р». Пример: «Солнце является звездой».
  • - Отрицательная. Соответственно, отражает отсутствие какой-либо связи между понятиями (S и Р). Формула отрицательного суждения - это «S не есть Р». Например: «Птицы не являются млекопитающими».

  

  Такое разделение весьма условно, так как любое утверждение в скрытом виде содержит отрицание. И наоборот. К примеру, фраза «это море» означает, что субъект - не река, не озеро и так далее. А если «это не море», то, соответственно, что-то другое, возможно, океан или залив. Вот почему одно высказывание может быть выражено в форме другого, а двойное отрицание соответствует утверждению.

  Разновидности утвердительных суждений

  Если частица «не» стоит не перед связкой, а является составной частью предиката, такие высказывания называют утвердительными: «Принятое решение было неправильным». Выделяют две разновидности:

  • - положительного свойства, когда «S есть Р»: «Собака домашняя».
  • - отрицательного характера, когда «S есть не-Р»: «Суп несвежий».

  Разновидности отрицательных суждений

  Аналогично среди отрицательных высказываний различают:

  • - с положительным предикатом, формула «S не есть Р»: «Оля не ела яблоко»;
  • - с отрицательным предикатом, формула «S не есть не-Р»: «Оля не может не пойти».

  Важность отрицательных суждений заключается в их участии для достижения истины. Они отражают объективное отсутствие чего-либо у чего-то. Не зря говорят, что отрицательный результат тоже результат. Установление того, чем не является предмет и какими качествами не обладает, также немаловажно в процессе размышления.

  

  Суждения по количеству

  Ещё одной характеристикой, основанной на знании логического объёма субъекта, является количество. Выделяют следующее виды:

  • Единичные, содержащие информацию об одном субъекте. Формула: «S есть (не есть) Р».
  • -Частные - это те, которые имеют суждение о части предметов отдельного класса. В зависимости от определённости этой части различают: определённые ("Только некоторые S есть (не есть) Р") и неопределённые ("Некоторые S есть (не есть) Р").
  • -Общие содержат утверждение либо отрицание о каждом предмете рассматриваемого класса («Все S есть Р» или «Ни одно S не есть Р»).

  

  Объединённые суждения

  Многие высказывания имеют одновременно и качественную, и количественную характеристику. Для них применяется объединённая классификация. Это даёт четыре вида суждений:

  • - Общеутвердительное: «Все S есть Р».
  • - Общеотрицательное: «Ни одно S не есть Р».
  • - Частноутвердительное: «Некоторые S есть Р».
  • - Частноотрицательное: «Некоторые S не есть Р».

  Разновидность суждений по содержанию предиката

  В зависимости от смысловой нагрузки предиката выделяют высказывания:

  • - свойства, или атрибутивные;
  • - отношения, или релятивные;
  • - существования, или экзистенциальные.

  Простые суждения, раскрывающие прямую связь между предметами мысли, независимо от ее содержания, называют атрибутивными, или категорическими. Например: «Никто не вправе лишать жизни другого». Логическая схема атрибутивного высказывания: «S есть (или не есть) Р» (субъект, связка, предикат соответственно).

  Релятивные суждения - это высказывания, в которых предикат выражает наличие или отсутствие связи (отношений) между двумя и более предметами по разным категориям (время, место, причинная зависимость). К примеру: «Петя приехал раньше Васи».

  Если предикат указывает на факт отсутствия или наличия связи между предметами или самого объекта мысли, такое высказывание называют экзистенциальным. Здесь предикат выражается словами: "есть/нет", "был/не был", "существует/не существует" и так далее. Пример: «Нет дыма без огня».

  

  Модальность суждений

  Помимо общего содержания, высказывание может нести в себе дополнительную смысловую нагрузку. С помощью слов «возможно», «ничтожно», «важно» и других, а также соответствующих отрицаний «не разрешено», «невозможно» и других выражается модальность суждения.

  Существуют такие виды модальности:

  • -Алетическая (истинная) модальность. Выражает связь между предметами мысли. Модальные слова: «возможно», «случайно», «необходимо», а также их синонимы.
  • -Деонтическая (нормативная) модальность. Относится к нормам поведения. Слова: «запрещается», «обязательно», «разрешается», «позволено» и так далее.
  • -Эпистемическая (познавательная) модальность характеризует степень достоверности («доказано», «опровергнуто», «сомнительно» и их аналоги).
  • -Аксиологическая (ценностная) модальность. Отражает отношение человека к каким-либо ценностям. Модальные слова: «плохо», «безразлично», «маловажно», «хорошо».

  Выражение отношения к содержанию высказывания посредством утверждения модальности, как правило, связанное с эмоциональным состоянием, определяют как оценочное суждение. Например: «К сожалению, идёт дождь». В этом случае отражается субъективное отношение говорящего к тому, что идёт дождь.

  

  Структура сложного высказывания

  Сложные суждения состоят из простых, соединённых между собой логическими союзами. Подобные связки используются в качестве звена, способного объединить предложения друг с другом. Помимо логической привязки, которая в русском языке имеет форму союзов, ещё используются кванторы. Они бывают двух форм:

  • -Квантор общности - это слова «все», «каждый», «ни один», «всякий» и так далее. Предложения в данном случае выглядят следующим образом: «Все предметы обладают определённым свойством».
  • -Квантор существования - это слова «некоторые», «многие», «немного», «большинство» и так далее. Формула сложного предложения в этом случае: «Существуют некоторые объекты, обладающие определёнными свойствами».

  Пример сложного суждения: «Рано утром закукарекал петух, он меня разбудил, поэтому я не выспался».

  

  Способность к суждению

  Умение строить высказывания приходит к человеку с возрастом, постепенно. Примерно к трём годам ребёнок уже может произносить простые предложения, констатирующие что-либо. Понимание логических связей, грамматических союзов, является необходимым и достаточным условием для правильного суждения по конкретному поводу. В процессе развития человек учится обобщать информацию. Это позволяет ему, основываясь на простых суждениях, строить сложные.

Чтобы определиться с термином «логика высказываний», необходимо четко понимать, что же такое «высказывание».

Итак, высказывание представляет собой предложение, выстроенное грамматически правильно, и являющееся ложным или истинным. Данное понятие должно выражать определенный смысл. Например, выражение «канарейка есть птица» включает такие составные части: «канарейка» и «птица».

Именно поэтому одним из ключевых, исходных понятий логики и являются высказывания. Эти понятия должны описывать конкретную ситуацию, в которой будет либо утверждение чего-то, либо отрицание.

Логика высказываний складывается из простых и сложных выражений. Так, простым считается высказывание, не включающее в свой состав другие выражения. А к сложным относятся выражения, которые получены из простых, логически связанных между собой высказываний.

Классическая логика высказываний может быть представлена общей теорией дедукции. Это именно та часть логики, в которой описываются не зависящие от структуры высказываний логические связи простых выражений.

Нельзя не упомянуть о конъюнкции - сложном высказывании, получаемом путем соединения двух простых выражений с помощью слова «и». Истинность конъюнкции подтверждается достоверностью всех высказываний, входящих в ее структуру. В случае, когда хоть один из ее членов ложный, вся конъюнкция имеет признак «ложь».

Сама конъюнкция служит для образования тех сложных высказываний, которые основываются на таких предположениях:

Любое выражение (и простое, и сложное) может быть либо истинным, либо ложным;

Истинность сложного высказывания напрямую зависит от истинности входящих в него высказываний и логических связей в нем.

При соединении двух высказываний с использованием слова «или» получается уже дизъюнкция. В повседневной жизни данное понятие может быть рассмотрено с позиции двух разных смыслов. Во-первых, это неисключающий смысл, который подразумевает истинность от того, истинно одно выражение из двух или же они таковые оба. Во-вторых, исключающий смысл утверждает, что одно из выражений истинно, а другое - ложно.

Формулы логики высказываний содержат специальные символы. Так, в дизъюнкции символ V обозначает то, что при истинности хотя бы одного из высказываний, и ложно, если оба ее члена ложны.

При определении импликации существует утверждение, что основание высказывания не может быть истинным при ложном следствии. Другими словами, данное понятие предполагает зависимость истинности или ложности выражения от значения его составляющих и способов их связей.

Несмотря на то, что импликация достаточно полезна для некоторых целей, она не очень согласуется с пониманием условной связи в общем виде. Так, при охватывании многих важных черт логического поведения высказывания данное понятие не может являться его адекватным описанием.

Логика высказываний направлена на решение такой центральной задачи, как разделение правильных и неправильных схем рассуждения и систематизация первых. Чтобы получить правильный результат, необходимо сосредоточить свое внимание на специальных символах, которые могут представить ту или иную форму. Отсюда и обозначается интерес к таким незначительным на первый взгляд словам, как «или», «и» и т.д.

Логика высказываний имеет даже собственный язык, состоящий из следующих элементов:

Исходных символов - переменных, логических констант и технических знаков;

Для большего понимания сказанного необходимо перейти на конкретные примеры. Например, конъюнкция использует символ &, дизъюнкция - \/ или \º/.

Наряду с понятием к числу основных форм мышления относится суждение. Суждение – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами.

Примеры суждений: «Космонавты существуют», «Париж больше Марселя», «Некоторые числа появляются четными». Если то, о чем говорится в суждении, соответствует действительному положению вещей, то суждение истинно. Указанные выше суждения являются истинными, так как в них адекватно (верно) отражено то, что имеет место в действительности. В противном случае суждение ложно («Все растения являются съедобными»).

Традиционная логика является двузначной, потому что в ней суждение имеет одно из двух значений истинности: оно либо истинно, либо ложно. В трехзначных логиках – разновидности многозначных логик – суждение может быть либо истинным, либо ложным, либо неопределенным. Например, суждение «На Марсе есть жизнь» в настоящее время не является ни истинным, ни ложным, а неопределенным. Многие суждения о будущих единичных событиях являются неопределенными. Об этом писал еще Аристотель, приводя пример такого неопределенного суждения: «Завтра необходимо будет морское сражение».

Языковой формой выражения суждения является предложение. Суждение выражается повествовательным предложением, всегда содержащим в себе либо утверждение, либо отрицание. Суждение и предложение различаются по своему составу. Всякое простое суждение состоит их трех элементов:

1)субъекта суждения – это понятие о предмете суждения. Субъект суждения обозначается буквой S (от латинского слова subjectum );

2)предиката суждения – понятия о признаке предмета, о котором говорится в суждении. Предикат обозначается буквой Р (от лат. praedicatum ) ;

3)связки , выражаемой в русском языке словами «есть», «является», «суть».

Субъект и предикат называются терминами суждения. В структуру некоторых суждений входят еще так называемые кванторные слова («некоторые», «все», «ни один», «иногда» и др.). Кванторное слово указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его части.

ВИДЫ ПРОСТЫХ СУЖДЕНИЙ

1. Суждения свойства (атрибутивные):

в них утверждается или отрицается принадлежность предмету известных свойств, состояний, видов деятельности.

Схемы этого вида суждения: « S есть Р » или « S не есть Р».

Примеры : «Мед сладкий», «Шопен не является драматургом».

2. Суждения с отношениями:

суждения, отражающие отношения между предметами.

Формула , выражающая суждение с двуместным отношением, записывается как а Rb или R (а, b ), где а и b – имена предметов (члены отношения), а R – имя отношения. В суждении с отношением может что-либо утверждаться или отрицаться не только о двух, но и о трех, четырех или большем числе предметов, например: «Москва находится между Санкт-Петербургом и Киевом». Такие суждения выражаются формулой R (a , a , a ,…, a ).

Примеры: «Всякий протон тяжелее электрона», «Французский писатель Виктор Гюго родился позднее французского писателя Стендаля», «Отцы старше своих детей».

3. Суждения существования (экзистенциальные):

в них выражается сам факт существования или несуществования предмета суждении.

Схемы этого вида суждения: « S есть Р » или « S не есть Р».

Примеры этих суждений: «Существуют атомные электростанции», «Не существует беспричинных явлений».

В традиционной логике все три указанных вида суждений представляют собой простые категорические суждения. По качеству связки («есть» или «не есть») категорические суждения делятся на утвердительные и отрицательные . Суждения: «Некоторые учителя являются талантливыми воспитателями » и «Все ежи колючие » – утвердительные. Суждения: «Некоторые книги не являются букинистическими » и «Ни один кролик не является хищным животным » – отрицательные. Связка «есть» в утвердительном суждении отражает присущность предмету (предметам) некоторых свойств. Связка «не есть» отражает то, что предмету (предметам) не присуще некоторое свойство.

Некоторые логики считали, что в отрицательных суждениях нет отражения действительности. На самом деле отсутствие определенных признаков также представляет собой действительный признак, имеющий объективную значимость. В отрицательном истинном суждении наша мысль разъединяет (разделяет) то, что находится разделенным в объективном мире.

В познании утвердительное суждение имеет в общем случае большее значение, чем отрицательное, ибо важнее раскрыть, каким признаком обладает предмет, чем то, каким он не обладает, так как любой предмет не обладает очень многими свойствами (например, дельфин не рыба, не насекомое, не растение, не пресмыкающееся и т.д.).

В зависимости от того, обо всем ли классе предметов, о части этого класса или об одном предмете идет речь в субъекте, суждения делятся на общие, частные и единичные.

Например : «Все соболя – ценные пушные звери» и «Все здравомыслящие люди хотят долгой, счастливой и полезной жизни» (П. Брэгг) – общие суждения ; «Некоторые животные – водоплавающие» – частное ; «Везувий – действующий вулкан» – единичное .

Структура общего суждения : «Все S суть (не суть) Р». Единичные суждения будут трактоваться как общие, так как их субъектом является одноэлементный класс.

Среди общих суждений встречаются выделяющие суждения, в состав которых входит кванторное слово «только». Примеры выделяющих суждений: «Брэгг пил только дистиллированную воду»; «Смелый человек не боится правды. Ее боится только трус» (А. К. Дойл).

Среди общих суждений имеются исключающие суждения, например: «Все металлы при температуре 20°С, за исключением ртути, твердые». К числу исключающих суждений относятся и те, в которых выражены исключения из тех или иных правил русского или иных языков, правил логики, математики, других наук.

Частные суждения имеют структуру : «Некоторые S суть (не суть) Р». Они делятся на неопределенные и определенные. Например, «Некоторые ягоды ядовиты» – неопределенное частное суждение. Мы не установили, обладают ли признаком ядовитости все ягоды, но не установили и то, что признаком ядовитости не обладают некоторые ягоды. Если мы установили, что «только некоторые S обладают признаком Р», то это будет определенное частное суждение, структура которого: «Только некоторые S суть (не суть) Р». Примеры: «Только некоторые ягоды ядовиты»; «Только некоторые фигуры являются сферическими»; «Только некоторые тела легче воды». В определенных частных суждениях часто применяются кванторные слова: большинство, меньшинство, немало, не все, многие, почти все, несколько и др.

В единичном суждении субъектом является единичное понятие. Единичные суждения имеют структуру : «Это S есть (не есть) Р». Примеры единичных суждений: «Озеро Виктория не находится в США»; «Аристотель – воспитатель Александра Македонского»; «Эрмитаж – один из крупнейших в мире художественных и культурно-исторических музеев».

Таким образом, особое место в классификации суждений занимают выделяющие, исключающие и определенно-частные суждения, строящиеся на основе атрибутивных суждений и представляющие собой некоторые усложненные варианты последних:

Процедура приведения предложений естественного языка к канонической форме категорических суждений

1.Определить квантор, субъект и предикат высказывания.

2.Поставить кванторные слова «все» («ни один») или «некоторые» в начале высказывания.

3.Поставить субъект высказывания после кванторного слова.

4.Поставить логическую связку «есть» («суть») или «не есть» («не суть») после субъекта высказывания.

5.Поставить предикат высказывания после логической связки.

При выполнении последней операции следует иметь в виду следующее:

· во-первых, если предикат выражен существительным, которое может быть представлено одним словом или словосочетанием, то в данном случае предикат остается без изменения;

· во-вторых, если предикат выражен прилагательным (причастием), которое может быть представлено одним словом или словосочетанием, то в этом случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания;

· в-третьих, если предикат выражен глаголом, который может быть представлен одним словом или словосочетанием, то в таком случае к предикату следует добавить родовое понятие для субъекта высказывания, а глагол превратить в соответствующее ему причастие.

В каждом суждении имеется количественная и качественная характеристики. Поэтому в логике применяется объединенная классификация суждений по количеству и качеству, на основе которой выделяются следующие четыре типа суждений :

1. А – общеутвердительное суждение.

Структура: «Все S суть Р».

Пример: «Все люди хотят счастья».

2. I – частноутвердительное суждение.

Структура: «Некоторые S есть Р».

Пример: «Некоторые уроки стимулируют творческую активность учащихся».

ü Условные обозначения для утвердительных суждений взяты от слова affirmo , или утверждаю; при этом берутся две первые гласные буквы: А – для обозначения общеутвердительного и I – для обозначения частноутвердительного суждения.

3. Е – общеотрицательное суждение.

Структура: «Ни одно S не есть Р».

Пример: «Ни один океан не является пресноводным».

4. O – частноотрицательное суждение.

Структура: «Некоторые S не есть Р».

Пример: «Некоторые спортсмены не являются чемпионами Олимпийских игр».

ü Условное обозначение для отрицательных суждений взяты от слова nego , или отрицаю.

В суждениях термины S и Р могут быть либо распределены, либо не распределены. Термин считается распределенным , если его объем полностью включается в объем другого термина или полностью исключается из него. Термин будет нераспределенным , если его объем частично включается в объем другого термина или частично исключается из него. Проанализируем четыре вида суждений: А, I, Е, О (мы рассматриваем типичные случаи).

1. Суждение А – общеутвердительное . Его структура: «Все S суть Р ».

Рассмотрим два случая:

Пример 1 . В суждении «Все караси – рыбы» субъектом является понятие «карась», а предикатом – понятие «рыба». Квантор общности – «все». Субъект распределен, так как речь идет обо всех карасях, т.е. его объем полностью включен в объем предиката. Предикат не распределен, так как в нем мыслится только часть рыб, которые совпадают с карасями; речь идет лишь о той части объема предиката, которая совпадает с объемом субъекта.

Пример 2 . В суждении «Все квадраты – равносторонние прямоугольники» термины такие: S – «квадрат», Р – «равносторонний прямоугольник» и квантор общности – «все». В этом суждении S распределен и P распределен, ибо их объемы полностью совпадают. Если S равен по объему Р, то Р распределен. Это бывает в определениях и в выделяющих общих суждениях.

2. Суждение I – частноутвердительное . Его структура: «Некоторые S суть Р ». Рассмотрим два случая.

Пример 1 . В суждении «Некоторые подростки – филателисты» термины такие: S – «подросток», Р – «филателист», квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть подростков, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат тоже не распределен, так как он также лишь частично включен в объем субъекта (только некоторые филателисты являются подростками). Если понятия S и Р перекрещиваются, то Р не распределен.

Пример 2 . В суждении «Некоторые писатели – драматурги» термины такие: S – «писатель», Р – «драматург» и квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как в нем мыслится только часть писателей, т.е. объем субъекта лишь частично включается в объем предиката. Предикат распределен, ибо объем предиката полностью входит в объем субъекта. Таким образом, Р распределен, если объем Р меньше объема S , что бывает в частных выделяющих суждениях.

3. Суждение Е – общеотрицательное . Его структура: «Ни одно S не суть Р ». Например : «Ни один лев не есть травоядное животное». В нем термины такие: S – «лев», Р – «травоядное животное» и кванторное слово – «ни один». Здесь объем субъекта полностью исключается из объема предиката, и наоборот. Поэтому и S , и Р распределены.

4. Суждение О – частноотрицательное . Его структура: «Некоторые S не суть Р ». Например : «Некоторые учащиеся не являются спортсменами». В нем такие термины: S – «учащийся», Р – «спортсмен» и квантор существования – «некоторые». Субъект не распределен, так как мыслится лишь часть учащихся, а предикат распределен, ибо в нем мыслятся все спортсмены, ни один из которых не включен в ту часть учащихся, которая мыслится в субъекте

Итак, S распределен в общих суждениях и не распределен в частных; Р всегда распределен в отрицательных суждениях, в утвердительных же он распределен тогда, когда по объему Р ≤ S .

Представим это в таблице распределенности терминов :

Термины/ Вид суждения	A	E	I	O
S
P
P выделяющих суждений

Субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях. Предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В выделяющих суждениях предикат распределен.

Обозначения: + – распределенность термина;

– – нераспределенность термина

· СУЖДЕНИЯ С ОТНОШЕНИЯМИ суть такие суждения, в которых взаимосвязь между двумя терминами – субъектом и предикатом выражается не с помощью связки («есть», «является» и т.п.), а с помощью отношения, в котором что-либо утверждается или отрицается в отношении двух (нескольких) терминов. В такого типа суждениях предикат – отношение, а субъект – два (или несколько) понятий. По количеству понятий, входящих в субъект, определяется местность отношения.

· Суждения с отношениями делятся по качеству на утвердительные и отрицательные. Суждения с отношениями делятся по количеству. Наиболее часто встречающимися являются суждения с двухместными отношениями. Двухместные отношения имеют ряд свойств, на основании которых можно делать умозаключения из суждений об отношениях. Это свойства симметричности, рефлексивности и транзитивности.

• Отношение называется симметричным (от лат. «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами x и y , так и между предметами y и x (если х равно (сходно с, одновременно) y , то и y равно (сходно с, одновременно) х .
• Отношение называется рефлексивным (от лат. «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе (если х =у , то х =х и у =у ).
• Отношение называется транзитивным (от лат. «переход»), если оно имеет место между х и z , тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z (если х равно у и у равно z , то х равно z ).

Всякое суждение выражается в предложении, но не всякое предложение выражает суждение.

Ø Суждения выражаются посредством повествовательных предложений, всегда содержащих в себе либо утверждение, либо отрицание. Именно поэтому повествовательные предложения как грамматический эквивалент суждения представляет собой вполне законченную мысль, в которой утверждается или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами, факт существования предмета и которая может быть либо истинной, либо ложной.

Ø Вопросительные предложения не содержат в своем составе суждения, так как в них ничего не утверждается и не отрицается. Они не истинны и не ложны. Например: «Когда ты начнешь работать в саду?» или «Эффективен ли этот метод изучения иностранного языка?». Если в предложении выражен риторический вопрос, – например: «Кто не хочет счастья?», «Кто из вас не любил?» или «Есть ли что-нибудь чудовищнее неблагодарного человека?» (В. Шекспир), или «Есть ли человек, который смотрит в минуту раздумья на реку и не вспоминает о постоянном движении всех вещей?» (Р. Эмерсон), – то в нем содержится суждение, так как налицо утверждение, уверенность, что «Все хотят счастья» или «Все люди любят» и т. п.

Ø Вопросительно-риторические предложения в своем составе содержат суждения, так как в них что-либо утверждается или отрицается. Они могут быть как истинными, так и ложными.

Побудительные предложения не содержат в своем составе суждений: («Следите за здоровьем»; «Не разводите костры в лесу», «Иди не на каток, а в школу!»). Но предложения, в которых сформулированы воинские команды и приказы, призывы или лозунги, выражают суждения, однако не ассерторические, а модальные (модальные суждения включают в свой состав модальные операторы, выраженные словами: возможно, необходимо, запрещается, доказано и пр.). Например: «Берегите мир!», «Приготовьтесь к старту!», «Мой друг! Отчизне посвятим души прекрасные порывы» (А.С. Пушкин). Эти предложения выражают суждения, но суждения модальные, включающие в себя модальные слова. Как отмечает А.И. Уемов, выражают суждения и такие побудительные предложения: «Берегите мир!», «Не кури!», «Выполняй взятые на себя обязательства!». «Перед любым приемом пищи ешьте салат из сырых овощей или сырые фрукты» и «Не вредите себе перееданием» – эти советы (призывы) знаменитого американского ученого Поля Брэгга, взятые из его книги «Чудо голодания», являются суждениями. Является суждением и призыв: «Люди мира! Соединим усилия в решении общечеловеческих, глобальных проблем!».

Ø Односоставные безличные предложения и назывные являются суждениями лишь при рассмотрении их в контексте и при соответствующем уточнении.

Критерием присутствия в составе предложения суждения является наличие момента утверждения или отрицания, приводящего к оценке суждения на предмет истинности или ложности.

В естественном языке одно и то же суждение может быть выражено посредством различных предложений. Поэтому в логике во избежание неоднозначности и множественности различных содержательных трактовок предложения пользуются термином «высказывание», понимая под ним некоторое формализованное выражение мысли, которое может иметь только одно логическое значение. Суждение, рассматриваемое вместе с выражающим его предложением есть высказывание. Последнее представляет собой грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с однозначно выраженным им смыслом; оно может быть либо истинным, либо ложным.

II . Виды и логическая вероятность сложных суждений

Сложные суждения образуются из простых, а также из других сложных суждений с помощью союзов "если..., то...", "или", "и" и т.д., с помощью отрицания "неверно, что", модальных терминов "возможно, что", "необходимо, что", "случайно, что" и т.д. Эти союзы, отрицание "неверно, что", модальные термины в обыденном языке употребляются в различных смыслах. В научных языках им придается точный смысл, вследствие чего выделяются различные виды суждений, образованных из других суждений посредством, например, одного и того же грамматического союза.

I. Соединительными называются суждения, в которых утверждается наличие двух или более ситуаций. Чаще всего эти суждения выражаются в языке предложениями, содержащими союз "и".

Союз "и" употребляется в разных значениях. Например, предложения "Петров изучил английский язык, и он изучил французский язык" и "Петров изучил французский язык, и он изучил английский язык" выражают одно и то же суждение, а предложения "Петров окончил университет и поступил в аспирантуру" и "Петров поступил в аспирантуру и окончил университет" выражают разные суждения.

Таким образом, существуют разные типы утверждений о наличии двух или более ситуаций, т.е. разные виды соединительных суждений: (неопределенно) конъюнктивные, последовательно конъюнктивные, одновременно конъюнктивные.

1. (Неопределенно) конъюнктивные суждения образуются из двух суждений посредством союза, обозначаемого символом & (читается "и") и называемого знаком (неопределенной) конъюнкции. Определением знака конъюнкции является таблица, показывающая зависимость истинности конъюнктивного суждения от истинности составляющих его суждений.
2. Последовательно конъюнктивные суждения. В этих суждениях утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций. Они образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых символами & ® 2 , & ® 3 и т. д. в зависимости от числа суждений, из которых они образованы. Эти символы называются знаками последовательной конъюнкции и соответственно читаются «…, а затем..», "..., затем..., а затем..." и т.д. Индексы 2,3 и т.д. указывают на местность союза. Форма суждения со знаком двухместной последовательной конъюнкции: & ® 2 (А,В) или (А& ® 2 В). Пример суждения этой формы: "Покупатель оплатил стоимость товара, а затем продавец выдал товар". Вместо выражения "а затем" чаще всего употребляется союз "и": "Покупатель оплатил стоимость товара, и продавец выдал товар". Форма суждения с трехместным союзом. Пример : "Петров заложил квартиру, затем внес деньги в пирамиду, а затем стал человеком без определенного места жительства".
3. Одновременно конъюнктивные суждения. Эти суждения образуются из двух суждений посредством союза "и", называемого знаком одновременной конъюнкции. Обозначение - & = . В этих суждениях утверждается одновременное существование двух ситуаций. Пример: "Идет дождь, и светит солнце".

1. Дизъюнктивные, или нестрого-разделительные, или соединительно-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций. Они образуются из двух суждений посредством союза "или", обозначаемого знаком v (читается "или"), называемым знаком нестрогой дизъюнкции (или просто знаком дизъюнкции).
2. Строго-дизъюнктивные, или строго-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие ровно одной из двух, трех или более ситуаций. Они образуются из двух, трех и т.д. суждений посредством союзов "или..., или..." ("либо..., либо..."), "или..., или..., или..." и т.д. Иногда союз "или..., или..." заменяется союзом "или", а его разделительный смысл определяется контекстом. Союзы, посредством которых образуются строго-дизъюнктивные суждения, обозначаются знаком v .

III . Условные суждения выражаются как правило, предложениями с союзом "если …, то …". В них утверждается, что наличие одной ситуации обусловливает наличие другой. Пример: "Если солнце находится в зените, то тени от него являются самыми короткими". В условном суждении выделяют основание и следствие. Основанием называется та часть условного суждения, которая находится между словом "если" и словом "то". Часть условного суждения, которая находится после слова "то", называется следствием . В суждении "Если идет дождь, то крыши домов мокрые" основанием является простое суждение "идет дождь", а следствием - "крыши домов мокрые".

Более строго условное суждение определяется посредством понятия достаточного условия. Условие является достаточным для какого-либо события, какой-либо ситуации, если, и только если, всегда, когда имеется это условие, имеется и событие (ситуация). Так, наличие свободных электронов в веществе является достаточным условием для того, чтобы вещество было электропроводным. Условным называется суждение, в котором ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием. Условный союз "если..., то…" обозначается стрелкой (® ).

IV . Контрфактические суждения. Пример: "Если бы Петров был президентом, то не ездил бы по городу на автобусе". Как и в условных суждениях, в этих суждениях выделяют основание и следствие. Союз "если бы…, то…" обозначается знаком É , который называется знаком контрфактической импликации. Суждение имеет такой смысл ситуация, описываемая основанием, не имеет места, но если бы она существовала, то существовало бы следствие

V . Эквивалентные суждения. В суждениях эквивалентности утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций. Эти суждения выражаются, как правило, посредством предложений с союзом "если, и только если, ..., то..." ("тогда, и только тогда, …, когда..."). В них тоже можно выделить основания и следствия. Основание в них выражает достаточное и необходимое условие для ситуации, описываемой следствием (Условие называется необходимым для данного события (ситуации, действия и т.д.), если, и только если, при его отсутствии это событие не происходит.) Союз "если, и только если, …, то ", употребляемый в описанном смысле, обозначается символом º

В суждении эквивалентности событие, описываемое следствием, также является достаточным и необходимым условием для события, описываемого основанием.

VI . Суждение с внешним отрицанием. Это такое высказывание, в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации.

Внешнее отрицание обозначается символом «l» (знаком отрицания). Данному знаку в естественном языке соответствует отрицание «не» или выражение «неверно, что», которые обычно стоят в начале предложения. Располагая выражение «неверно, что» перед произвольным ложным высказыванием, получаем истинное высказывание, а из истинного высказывания посредством подстановки к нему выражения «неверно, что», образуем ложное высказывание. Суждение с внешним отрицанием относится к сложным суждениям и образуется из простого посредством отрицания.

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи. Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина». Тождественно-ложная формула – та, которая (соответственно) принимает только значение «ложь». Выполняемая формула может принимать значения как «истина», так и «ложь».

Итак, конъюнкция (а b ) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (a b ) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (a b ) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (a É b ) истинна во всех случаях, кроме одного - когда а - истинно, b - ложно. Эквиваленция (a º b ) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (ù a ) истины дает ложь, и наоборот.

Ø Любую языковую конструкцию, состоящую из некоторого множества суждений, можно перевести на символический язык. Для этого нужно заменить суждения логическими переменными, а связь между ними – логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются переменные, зависит логическая особенность сложного суждения, его форма.

Ø Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «истина» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически необходимым . Другими словами, сложные суждения, которые во всех строках результирующего столбца таблиц истинности принимают значение «истина» являются логически необходимыми (логически истинными) суждениями. Логическая форма логически необходимого суждения выражается тождественно-истинной формулой, которая при любом истинностном значении переменных принимает значение «истина», то есть ее результирующий столбец состоит только из «И». Тождественно-истинные формулы являются основой логически правильных высказываний. Каждая такая формула рассматривается как закон логики (логическая тавтология).

Ø Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «ложь» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически невозможным . Другими словами, сложные суждения, которые со всех сторон результирующего столбца таблицы истинности принимают значение «ложь» являются логически невозможными (логически ложными) суждениями. Логическая форма логически невозможного суждения выражается тождественно-ложной формулой, которая принимает значение «ложь» при любом истинностном значении переменных, то есть ее результирующий столбец состоит только из «Л». Тождественно-ложные формулы называются противоречиями .

Ø Сложное суждение, логическая форма которого в результирующем столбце таблицы истинности принимает значения как «истина», так и «ложь», называется логически случайным . Логическая форма логически случайного суждения выражается нейтральной (собственно выполнимой) формулой, результирующий столбец которой состоит как из «И», так и из «Л».

Ø Особенность первых двух видов сложных суждений заключается в том, что их истинность и ложность не зависят от истинности и ложности простых суждений, которые их составляют. Логически случайные суждения иногда истинны, иногда ложны. И зависит это от того, какие простые суждения истинны, а какие ложны.

III . Отрицание суждений

ОТРИЦАНИЕ СУЖДЕНИЯ – это операция, состоящая в преобразовании логического содержания отрицаемого суждения, конечным результатом которой является формулирование нового суждения, находящегося в отношении противоречия к исходному суждению.

При отрицании простых атрибутивных суждений :

1)общее суждение меняется на частное, и наоборот;

2)утвердительное суждение меняется на отрицательное, и наоборот.

Отрицание атрибутивных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:

ù А равнозначно О ù О равнозначно А

ù Е равнозначно I ù I равнозначно Е

Отрицание сложных суждений производится согласно следующим эквивалентностям:

ù (А & В) равнозначно ù А v ù В; по закону де Моргана

ù (А vВ) равнозначно ù А & ù В;

ù (А É В) равнозначно А & ù В;

ù (А º В) равнозначно (ù А & В) v (А & ù В);

ù (А v В) равнозначно А º В

IV . Отношение между суждениями

Отношения между суждениями по истинности принято схематически изображать в виде «логического квадрата»:

ЛОГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЖНЫМИ СУЖДЕНИЯМИ

Отношения между сложными суждениями подразделяются на зависимые (сравнимые) и независимые (несравнимые). Независимые – суждения, которые не имеют общих составляющих; для них характерны все сочетания истинных значений. Зависимые – это суждения, которые имеют одинаковые составляющие и могут различаться логическими связками, включая отрицание. Зависимые, в свою очередь, подразделяются на совместимые (суждения, которые одновременно могут быть истинными) и несовместимые (суждения, которые одновременно не могут быть истинными).

Отношения

V . Модальность суждений

МОДАЛЬНОСТЬ – это выраженная в суждении дополнительная информация о логическом или фактическом статусе суждения, о регулятивных, оценочных, временных и других его характеристиках.

Ассерторические суждения, то есть атрибутивные и реляционные суждения, а также образованные из них сложные высказывания можно рассматривать как суждения с неполной информацией. Основной функцией атрибутивного суждения является отражение связей между предметом и его признаками. О предмете S можно просто сказать, что он имеет свойство P . Такое атрибутивное суждение является просто утверждением. Наряду с просто утверждением (отрицанием) выделяют так называемые сильные и слабые утверждения и отрицания, которые являются модальными суждениями.

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МОДАЛЬНОСТЕЙ:

Ø АЛЕТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – выраженная в суждении посредством модальных понятий «необходимо», «обязательно», «непременно», «случайно», «возможно», «может быть», «не исключается», «допускается» и др. информация о логической или фактической детерминированности суждения. В алетической группе выделяют онтологическую (фактическую ) модальность, которая связана с объективной детерминированностью суждений, когда их истинность или ложность определяется ситуацией, имеющей место в реальной действительности , и логическую модальность , которая связана с логической детерминированностью суждения, когда истинность или ложность определяется формой или структурой суждения .

Ø ЭПИСТЕМИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – это выраженная в суждении посредством модальных операторов «известно», «неизвестно», «доказуемо», «опровержимо», «предполагается» и т.д. информация об основаниях принятия и степени его обоснованности.

Ø ДЕОНТИЧЕСКАЯ МОДАЛЬНОСТЬ – выраженное в суждении предписание в форме совета, пожелания, правила поведения или приказа, побуждающее человека к конкретным действиям. К деонтическим относят и нормы права (здесь можно выделить следующие операторы: «обязан», «должен», «надлежит», «признается», «запрещается», «не может», «не допускается», «имеет право», «может иметь», «может принять» и др.).

Модальность суждения (р ) представляется с помощью оператора М , по схеме Мр (например, «возможно Р»). Истинность модального суждения зависит от истинности суждения, стоящего под модальным оператором, и от типа модального оператора.

Модальные простые суждения

Простые суждения, выражающие характер связи между субъектом и предикатом с помощью модальных операторов (модальных понятий)

p É q ); M (p º q ).

Пример: Из сложного высказывания «Если температура выше 100 градусов, то вода превращается в пар» можно получить модальное высказывание «Физически необходимо, что если температура выше 100 градусов, то вода превращается в пар».

VI . Понятие логического закона

Правильное мышление должно отвечать следующим требованиям: быть определенным, последовательным, непротиворечивым и обоснованным. Определенное мышление – точное и строгое, свободное от всякой сбивчивости. Последовательное мышление – свободное от внутренних противоречий, разрушающих необходимые связи между мыслями. Непротиворечивость связана с недопущением взаимоисключающих, как одинаково приемлемых, в том или ином отношении мыслей. Обоснованное мышление – не просто формулирующее истину, но вместе с тем указывающее те основания, по которым она должна быть признана истиной.

Так как черты определенности, последовательности, непротиворечивости и обоснованности являются необходимыми свойствами всякого мышления, то они имеют над мышлением силу законов. Там, где мышление оказывается правильным, оно во всех своих действиях и операциях повинуется определенным логическим законам.

Как уже отмечалось, логической формой мысли является строение мысли, то есть способ связи ее составных частей. Так, между мыслями, логические формы которых представлены выражениями «Все S есть Р» и «все Р есть S » имеется связь: если истинна одна из этих мыслей, то истинна и вторая, независимо от конкретного содержания этих мыслей. Связи между мыслями, при которых истинность одних с необходимостью обусловливают истинность других, определяют формально-логические законы, или законы логики.

§ ЗАКОНЫ ЛОГИКИ – это такие выражения, которые являются истинными только в силу своей логической формы, то есть только на основании связи их составляющих. Другими словами, логическим законом является сама логическая форма, гарантирующая истинность выражения при любом содержании.

§ ЗАКОН ЛОГИКИ – это выражение, содержащее только константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) предметной области (так, любой закон логики высказываний или логики предикатов является примером логического закона). Это так называемые законы связи между мыслями . Логические законы принято называть также тавтологиями .

§ ЛОГИЧЕСКАЯ ТАВТОЛОГИЯ – это «всегда истинное выражение», то есть остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь. Любой закон логики является логической тавтологией.

§ Особую роль играют так называемые законы (принципы), определяющие необходимые общие условия , которым должны удовлетворять наши мысли и логические операции с мыслями. В традиционной логике в качестве таковых рассматриваются:

В математической логике закон тождества выражается следующими формулами:

аº а (в логике высказываний) и Аº А (в логике классов, в которой классы отождествляются с объемами понятий).

Тождество есть равенство, сходство предметов в каком-либо отношении. Например, все жидкости тождественны в том, что они теплопроводны, упруги. Каждый предмет тождествен самому себе. Но реально тождество существует в связи с различием. Нет и не может быть двух абсолютно тождественных вещей (например, двух листочков дерева, близнецов и т.д.). Вещь вчера и сегодня и тождественна, и различна. Например, внешность человека изменяется с течением времени, но мы его узнаем и считаем одним и тем же человеком. Абстрактного, абсолютного тождества в действительности не существует, но в определенных границах мы можем отвлечься от существующих различий и фиксировать свое внимание на одном только тождестве предметов или их свойств.

В мышлении закон тождества выступает в качестве нормативного правила (принципа). Он означает, что нельзя в процессе рассуждения подменять одну мысль другой, одно понятие – другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные – за тождественные.

Например, тождественными по объему будут три такие понятия: «ученый, по инициативе которого был основан Московский университет»; «ученый, сформулировавший принцип сохранения материи и движения»; «ученый, ставший с 1745 г. первым русским академиком Петербургской академии» – все они обозначают одного и того же человека (М.В. Ломоносова), но дают различную информацию о нем.

Нарушение закона тождества приводит к двусмысленностям, что можно видеть, например, в следующих рассуждениях: «Ноздрев был в некотором отношении исторический человек. Ни на одном собрании, где он был, не обходилось без истории» (Н. В. Гоголь). «Стремись уплатить свой долг, и ты достигнешь двоякой цели, ибо тем самым его исполнишь» (Козьма Прутков). Игра слов в этих примерах построена на употреблении омонимов.

В мышлении нарушение закона тождества проявляется тогда, когда человек выступает не по обсуждаемой теме, произвольно подменяет один предмет обсуждения другим, употребляет термины и понятия в другом смысле, чем принято, не предупреждая об этом.

Отождествление (или идентификация) широко используется в следственной практике, например, при опознании предметов, людей, отождествлении почерков, документов, подписей на документе, отождествлении отпечатков пальцев.

2. Закон непротиворечия: Если предмет А обладает определенным свойством, то в суждениях об А люди должны утверждать это свойство, а не отрицать его . Если же человек, утверждая что-либо, отрицает то же самое или утверждает нечто несовместимое с первым, налицо логическое противоречие. Формально-логические противоречия – это противоречия путаного, неправильного рассуждения. Такие противоречия затрудняют познание мира.

Мысль противоречива, если мы об одном и том же предмете в одно и то же время и в одном и том же отношении нечто утверждаем и то же самое отрицаем. Например: «Кама – приток Волги» и «Кама не является притоком Волги». Или: «Лев Толстой – автор романа «Воскресение» и «Лев Толстой не является автором романа «Воскресение».

Противоречия не будет, если мы говорим о разных предметах или об одном и том же предмете, взятом в разное время или в разном отношении. Противоречия не будет, если мы скажем: «Осенью дождь полезен для грибов» и «Осенью дождь не полезен для уборки урожая». Суждения «Этот букет роз свежий» и «Этот букет роз не является свежим» также не противоречат друг другу, ибо предметы мысли в этих суждениях берутся в разных отношениях или в разное время.

Не могут быть одновременно истинными следующие четыре типа простых суждений:

∧ ā. Закон непротиворечия читается так: «Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том отношении». К противоположным суждениям относятся: 1) противные (контрарные) суждения А и Е , которые оба могут быть ложными, поэтому не являются отрицающими друг друга, и их нельзя обозначить как а и ā; 2) противоречащие (контрадикторные) суждения А и О , Е и I , а также единичные суждения «Это S есть P » и «Это S не есть Р», которые являются отрицающими, так как если одно из них истинно, то другое обязательно ложно, поэтому их обозначают а и ā.

Формула закона непротиворечия в двузначной классической логике а ∧ ā отражает лишь часть содержательного аристотелевского закона непротиворечия, так как она относится только к противоречащим суждениям (а и не-а) и не распространяется на противные (контрарные суждения). Поэтому формула а∧ ā неадекватно, не полностью представляет содержательный закон непротиворечия. Следуя традиции, мы за формулой а∧ ā сохраняем название «закон непротиворечия», хотя оно значительно шире, чем данная формула.

Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, отрицается и считается ложным. Поэтому в полемике при опровержении мнения оппонента широко используется метод «приведения к абсурду».

3. Закон исключенного третьего: Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано . Противоречащими (контрадикторными) называются такие два суждения, в одном из которых что-либо утверждается о предмете, а в другом то же самое об этом же предмете отрицается, поэтому они не могут быть оба одновременно истинными и оба ложными; одно из них истинно, а другое обязательно ложно. Такие суждения называются отрицающими друг друга. Если одно из противоречащих суждений обозначить переменной а , то другое следует обозначить ā . Так, из двух суждений: «Джеймс Фенимор Купер является автором серии романов о Кожаном Чулке, создававшихся на протяжении почти 20 лет» и «Джеймс Фенимор Купер не является автором серии романов о Кожаном Чулке, создававшихся на протяжении почти 20 лет» первое истинно, второе ложно, и третьего – промежуточного – суждения не может быть.

Отрицающими являются следующие пары суждений:

1) «Это S есть Р» и «Это S не есть Р» (единичные суждения).

2) «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» (суждения А и О ).

3) «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р» (суждения Е и I ).

В отношении противоречащих (контрадикторных) суждений (А и О , Е и I ) действует как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечия – в этом одно из сходств данных законов.

Различие в областях определения (т.е. применения) этих законов в том, что по отношению противных (контрарных) суждений А и Е (например: «Все грибы – съедобны» и «Ни один гриб не является съедобным»), которые оба не могут быть истинными, но оба могут быть ложными, распространяется действие лишь закона непротиворечия и не распространяется действие закона исключенного третьего. Итак, сфера действия содержательного закона непротиворечия шире (это контрарные и контрадикторные суждения), чем сфера действия содержательного закона исключенного третьего (лишь контрадикторные, т.е. суждения типа а и не-а ). Действительно, истинно одно из двух суждений: «Все дома в данной деревне электрифицированы» или «Некоторые дома в данной деревне не являются электрифицированными» и третьего не дано.

Закон исключенного третьего и в содержательном, и в формализованном виде охватывает один и тот же круг суждений – противоречащие, т.е. отрицающие друг друга. Формула закона исключенного третьего: А v ù А

В мышлении закон исключенного третьего предполагает четкий выбор одной из двух взаимоисключающих альтернатив. Для корректного ведения дискуссии выполнение этого требования обязательно.

4. Закон достаточного основания: Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованной . Речь идет об обосновании только истинных мыслей: ложные мысли обосновать нельзя, и нечего пытаться «обосновать» ложь, хотя нередко отдельные люди пытаются это сделать. Есть хорошая латинская пословица: «Ошибаться свойственно всем людям, но настаивать на своих ошибках свойственно лишь глупцам».

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

Юридический институт

По дисциплине: Логика

на тему: Сложные суждения

Санкт-Петербург

Понятие простого суждения

Суждение – форма мышления, посредством которой что-либо утверждается или отрицается о предмете (ситуации) и которая обладает логическим значением истины или ложности. Данное определение характеризует простое суждение.

Наличие утверждения или отрицания описываемой ситуации отличает суждение от понятия .

Характерной особенностью суждения с логической точки зрения является то, что оно – при логически правильном его построении – всегда истинно или ложно. И связано это как раз с наличием в суждении утверждения или отрицания чего-либо. Понятие, которое в отличие от суждения содержит только описание предметов и ситуаций с целью их мысленного выделения, не имеет истинностных характеристик.

Суждение следует отличать и от предложения. Звуковая оболочка суждения – предложение . Суждение всегда является предложением, но не наоборот. Суждение выражается в повествовательном предложении, в котором утверждается, отрицается или сообщается что-либо. Таким образом, вопросительное, побудительное и повелительное предложения суждениями не являются. Структуры предложения и суждения не совпадают. Грамматический строй одного и того же предложения различается в разных языках, тогда как логический строй суждения всегда одинаков у всех народов.

Следует отметить также отношения между суждением и высказыванием. Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Иными словами, утверждение о ложности или истинности высказывания должно иметь смысл. Суждение является содержанием любого высказывания. Такие предложения, как «число n является простым» , невозможно считать высказыванием, так как о нем нельзя сказать, является ли оно истинным или ложным. В зависимости от того, какое содержание будет иметь переменная «n», можно установить его логическое значение. Подобные выражения называются пропозициональными переменными. Высказывание обозначается одной какой-либо буквой латинского алфавита. Оно рассматривается как неразложимая единица. Это значит, что в нем не разглядывается никакая структурная единица в качестве его части. Такое высказывание называется атомарным (элементарным) и соответствует простому суждению. Из двух и более атомарных высказываний посредством логических операторов (связок) образуется сложное или молекулярное высказывание. В отличие от высказывания суждение представляет собой конкретное единство субъекта и объекта, связанных по смыслу.

Примеры суждений и высказываний:

Простое высказывание – А; простое суждение – «S есть (не есть) P».

Сложное высказывание – A→B; сложное суждение – «если S1 есть P1, то S2 есть P2».

Состав простого суждения

В традиционной логике установилось членение суждения на субъект, предикат и связку.

Субъект – часть суждения, в которой выражается предмет мысли.

Предикат – часть суждения, в которой что-либо утверждается либо отрицается о предмете мысли. Например, в суждении «Земля – планета Солнечной системы» субъектом является «Земля», предикатом «планета солнечной системы». Нетрудно заметить, что логический субъект и предикат не совпадают с грамматическими, т. е. с подлежащим и сказуемым.

Вместе субъект и предикат называются терминами суждения и обозначаются соответственно латинскими символами S и P.

Кроме терминов, суждение содержит связку. Как правило, связка выражается словами «есть», «суть», «является», «быть». В приведенном примере она опущена.

Понятие сложного суждения

Сложное суждение – суждение, образованное из простых посредством логических союзов конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности.

Логический союз – это способ соединения простых суждений в сложное, при котором логическое значение последнего устанавливается в соответствии с логическими значениями составляющих его простых суждений.

Особенность сложных суждений заключается в том, что их логическое значение (истинность или ложность) определяется не смысловой связью простых суждений, составляющих сложное, но двумя параметрами:

1) логическим значением простых суждений, входящих в сложное;

2) характером логической связки, соединяющей простые суждения;

Современная формальная логика отвлекается от содержательной связи между простыми суждениями и анализирует такие высказывания, в которых эта связь может отсутствовать. Например, «Если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то на Солнце существуют высшие растения».

Логическое значение сложного суждения устанавливается при помощи таблиц истинности. Таблицы истинности строятся следующим образом: на входе выписываются все возможные комбинации логических значений простых суждений, из которых состоит сложное суждение. Число этих комбинаций можно высчитать по формуле: 2n, где n – число простых суждений, составляющих сложное. На выходе выписывается значение сложного суждения.

Сравнимость суждений

Помимо всего прочего, суждения делятся на сравнимые , имеющие общий субъект или предикат и несравнимые , не имеющие между собой ничего общего. В свою очередь, сравнимые делятся на совместимые , полностью или частично выражающие одну и ту же мысль и, несовместимые , если из истинности одного из них необходимо следует ложность другого (при сопоставлении таких суждений нарушается закон непротиворечия). Отношение по истинности между суждениями, сравнимыми через субъекты отображается логическим квадратом.

Логический квадрат лежит в основе всех умозаключений и представляет собой сочетание символов A, I, E, O означающих определенный тип категорических высказываний.

A – Общеутвердительные: Все S являются P .

I – Частноутвердительные: По крайней мере, некоторые S являются P .

E – Общеотрицательные: Все (ни одни) S не являются P.

O – Частноотрицательные: По крайней мере, некоторые S не являются P.

Из них общеутвердительные и общеотрицательные являются подчиняющими, а частноутвердительные и частноотрицательные – подчиненными.

Суждения A и E противопоставлены друг другу;

Суждения I и O противоположны;

Суждения, расположенные по диагонали – противоречивы.

Противоречивые и противопоставленные суждения ни в коем случае не могут быть одновременно истинными. Противоположные суждения могут быть или не быть одновременно истинными, но, по крайней мере, истинным должно быть одно из них.

Закон транзитивности обобщает логический квадрат, становясь основой всех непосредственных умозаключений и, определяет что, из истинности подчиняющих суждений логически следует истинность суждений им подчиненных и ложность противоположных подчиненных суждений.

Логические связки. Конъюнктивное суждение

Конъюнктивное суждение – суждение, которое является истинным тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него суждения.

Образуется посредством логического союза конъюнкции, выражающегося грамматическими союзами «и», «да», «но», «однако». Например, «Светит, да не греет».

Символически обозначается следующим образом: А˄В, где А, В – переменные, обозначающие простые суждения, ˄– символическое выражение логического союза конъюнкции.

Определению конъюнкции соответствует таблица истинности:

А	В	А ˄ В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Дизъюнктивные суждения

Имеется два вида дизъюнктивных суждений: строгая (исключающая) дизъюнкция и нестрогая (неисключающая) дизъюнкция.

Строгая (исключающая) дизъюнкция – сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда, когда истинно только одно из входящих в него суждений или «которое ложно тогда, когда оба высказывания ложны». Например, «Данное число либо кратно, либо не кратно пяти».

Логический союз дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «либо…либо».

Символически записывается А˅В.

Логическое значение строгой дизъюнкции соответствует таблице истинности:

А	В	А ˅ В
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Нестрогая (неисключающая) дизъюнкция – сложное суждение, принимающее логическое значение истины тогда и только тогда,когда истинным является, по крайней мере, одно (но может быть ибольше) из простых суждений, входящих в сложное. Например, «Писатели могут быть или поэтами, или прозаиками (или тем и другимодновременно)» .

Нестрогая дизъюнкция выражается посредством грамматического союза «или…или» в разделительно-соединительном значении.

Символически записываетсяА˅ В. Нестрогой дизъюнкции соответствует таблица истинности:

А	В	А ˅ В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Импликативные (условные) суждения

Импликация – сложное суждение, принимающее логическое значение ложности тогда и только тогда, когда предшествующее суждение (антецедент ) истинно, а последующее (консеквент ) ложно.

В естественном языке импликация выражается союзом «если..., то» в смысле«наверно, что А и не В». Например, «Если число делится на 9, то оноделится и на 3».

Логика высказываний , называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.

Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.

Рисунок сверху - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания . И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.

Логика высказываний применяется в информатике и программировании в виде объявления логических переменных и присвоения им логических значений "ложь" или "истина", от которых зависит ход дальнейшего исполнения программы. В небольших программах, где задействована лишь одна логическая переменная, этой логической переменной часто даётся имя, например, "флаг" ("flag") и подразумевается, что "флаг поднят", когда значение этой переменной - "истина" и "флаг опущен", когда значение этой переменной - "ложь". В программах большого объёма, в которых несколько или даже очень много логических переменных, от профессионалов требуется придумывать имена логических переменных, имеющих форму высказываний и смысловую нагрузку, отличающую их от других логических переменных и понятных другим профессионалам, которые будут читать текст этой программы.

Так, может быть объявлена логическая переменная с именем "ПользовательЗарегистрирован" (или его англоязычный аналог), имеющая форму высказывания, которой может быть присвоено логическое значение "истина" при выполнении условий, что данные для регистрации отправлены пользователем и эти данные программой признаны годными. В дальнейших вычислениях значения переменных могут меняться в зависимости от того, какое логическое значение ("истина" или "ложь") имеет переменная "ПользовательЗарегистрирован". В других случах переменной, например, с именем "ДоДняХОсталосьБолееТрёхДней", может быть присвоено значение "Истина" до некоторого блока вычислений, а в ходе дальнейшего исполнения программы это значение может сохраняться или меняться на "ложь" и от значения этой переменной зависит ход дальнейшего исполнения программы.

Если в программе используются несколько логических переменных, имена которых имеют форму высказываний, и из них строятся более сложные высказывания, то намного проще разрабатывать программу, если перед её разработкой записать все операции с высказываний в виде формул, применяемых в логике высказываний, чем мы в ходе этого урока и займёмся.

Логические операции над высказываниями

Для математических высказываний всегда можно сделать выбор между двумя различными альтернативами "истина" и "ложь", а для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается . Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".

Высказывания же, напротив, можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".

Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3

Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A , B , ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л . В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.

Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания . Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π ² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.

Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л , мы определим далее логические операции над высказываниями , которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.

Пусть даны два произвольных высказывания A и B .

1 . Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".

Таблица истинности для конъюнкции:

A	B	A ∧ B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

2 . Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B , определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B .

Таблица истинности для дизъюнкции:

A	B	A ∨ B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

3 . Третья логическая операция над высказываниями A и B , выражаемая в виде A → B ; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой , B - следствием , а высказывание A → B - следованием , называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A , то B ". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B . Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A , и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".

Таблица истинности для следования (импликации):

A	B	A → B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

4 . Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа ¬, а также верхнего надчёркивания над A ). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности для отрицания:

A	~ A
Л	И
И	Л

5 . И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B . Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.

Таблица истинности для эквивалентности:

A	B	A → B	B → A	A ↔ B
И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	Л
Л	И	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И

В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).

Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.

Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).

Связка	Обозначение	Название операции
не		отрицание
и		конъюнкция
или		дизъюнкция
если..., то...		импликация
тогда и только тогда		эквивалентность

Для логических операций верны законы алгебры логики , которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.

Пример 1.

1) (2 = 2) И (7 = 7) ;

2) Не(15 ;

3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён") ;

4) Не("Сосна" = "Дуб") ;

5) (Не(15 20) ;

6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж") ;

7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20) .

1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".

5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".

6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".

Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:

1) "Пользователь не зарегистрирован";

2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";

3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".

1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: ;

2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: ;

3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: .

Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:

1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время") ;

2) (28 > 7) И (300/5 = 60) ;

3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево") ;

4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой")) ;

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:

1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";

2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";

Пример 5. Определите логическое значение выражения

(p → q ) ↔ (r → s ) ,

p = "278 > 5" ,

q = "Яблоко = Апельсин" ,

p = "0 = 9" ,

s = "Шапка покрывает голову" .

Формулы логики высказываний

Понятие логической формы сложного высказывания уточняется с помощью понятия формулы логики высказываний .

В примерах 1 и 2 мы учились записывать с помощью логических операций сложные высказывания. Вообще-то они называются формулами логики высказываний.

Для обозначения высказываний, как и упомянутом примере, будем продолжать использовать буквы

p , q , r , ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Эти буквы будут играть роль переменных, принимающих в качестве значений истинностные значения "истина" и "ложь". Эти переменные называются также пропозициональными переменными. Мы будем далее называть их элементарными формулами или атомами .

Для построения формул логики высказываний кроме указанных выше букв используются знаки логических операций

~, ∧, ∨, →, ↔,

а также символы, обеспечивающие возможность однозначного прочтения формул - левая и правая скобки.

Понятие формулы логики высказываний определим следуюшим образом:

1) элементарные формулы (атомы) являются формулами логики высказываний;

2) если A и B - формулы логики высказываний, то ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) тоже являются формулами логики высказываний;

3) только те выражения являются формулами логики высказываний, для которых это следует из 1) и 2).

Определение формулы логики высказываний содержит перечисление правил образования этих формул. Согласно определению, всякая формула логики высказываний либо есть атом, либо образуется из атомов в результате последовательного применения правила 2).

Пример 6. Пусть p - одиночное высказывание (атом) "Все рациональные числа являются действительными", q - "Некоторые действительные числа - рациональные числа", r - "некоторые рациональные числа являются действительными". Переведите в форму словесных высказываний следующие формулы логики высказываний:

6) .

1) "нет действительных чисел, которые являются рациональными";

2) "если не все рациональные числа являются действительными, то нет рациональных чисел, являющихся действительными";

3) "если все рациональные числа являются действительными, то некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными";

4) "все действительные числа - рациональные числа и некоторые действительные числа - рациональные числа и некоторые рациональные числа являются действительными числами";

5) "все рациональные числа являются действительными тогда и только тогда, когда не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными";

6) "не имеет места быть, что не имеет место быть, что не все рациональные числа являются действительными и нет действительных чисел, которые являются рациональными или нет рациональных чисел, которые являются действительными".

Пример 7. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний , которую в таблице можно обозначить f .

Решение. Составление таблицы истинности начинаем с записи значений ("истина" или "ложь") для одиночных высказываний (атомов) p , q и r . Все возможные значения записываются в восемь строк таблицы. Далее, определяя значения операции импликации, и продвигаясь вправо по таблице, помним, что значение равно "лжи" тогда, когда из "истины" следует "ложь".

p	q	r					f
И	И	И	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	Л	И
И	Л	И	И	Л	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	И	И
Л	И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	И	И	И	И
Л	Л	Л	И	И	И	Л	И

Заметим, что никакой атом не имеет вида ~A , (A ∧ B ) , (A ∨ B ) , (A → B ) , (A ↔ B ) . Такой вид имеют сложные формулы.

Число скобок в формулах логики высказываний можно уменьшить, если принять, что

1) в сложной формуле будем опускать внешнюю пару скобок;

2) упорядочим знаки логических операций "по старшинству":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

В этом списке знак ↔ имеет самую большую область действия, а знак ~ - самую маленькую. Под областью действия знака операции понимаются те части формулы логики высказываний, к которым применяется (на которые действует) рассматриваемое вхождение этого знака. Таким образом, можно опускать во всякой формуле те пары скобок, которые можно восстановить, учитывая "порядок старшинства". А при восстановлении скобок сначала расставляются все скобки, относящиеся ко всем вхождениям знака ~ (при этом мы продвигаемся слева направо), затем ко всем вхождениям знака ∧ и так далее.

Пример 8. Восстановите скобки в формуле логики высказываний B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Решение. Скобки восстанавливаются пошагово следующим образом:

B ↔ (~ C ) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C ) ∨ (D ∧ A )

B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A ))

(B ↔ ((~ C ) ∨ (D ∧ A )))

Не всякая формула логики высказываний может быть записана без скобок. Например, в формулах А → (B → C ) и ~ (A → B ) дальнейшее исключение скобок невозможно.

Тавтологии и противоречия

Логические тавтологии (или просто тавтологии) - это такие формулы логики высказываний, что если буквы произвольным образом заменить высказываниями (истинными или ложными), то в результате всегда получится истинное высказывание.

Так как истинность или ложность сложных высказываний зависит лишь от значений, а не от содержания высказываний, каждому из которых соответствует определённая буква, то проверку того, является ли данное высказывание тавтологией, можно подставить следующим способом. В исследуемом выражении на место букв подставляются значения 1 и 0 (соответственно "истина" и "ложь") всеми возможными способами и с использованием логических операций вычисляются логические значения выражений. Если все эти значения равны 1, то исследуемое выражение есть тавтология, а если хотя бы одна подстановка даёт 0, то это не тавтология.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "истина" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно истинной формулой или тавтологией .

Противоположный смысл имеет логическое противоречие. Если все значения высказываний равны 0, то выражение есть логическое противоречие.

Таким образом, формула логики высказываний, которая принимает значение "ложь" при любом распределении значений входящих в эту формулу атомов, называется тождественно ложной формулой или противоречием .

Кроме тавтологий и логических противоречий существуют такие формулы логики высказываний, которые не являются ни тавтологиями, ни противоречиями.

Пример 9. Составьте таблицу истинности для формулы логики высказываний и определите, является ли она тавтологией, противоречием или ни тем, ни другим.

Решение. Составляем таблицу истинности:

И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И
Л	И	Л	И	И
Л	Л	Л	Л	И

В значениях импликации не встречаем строку, в которой из "истины" следует "ложь". Все значения исходного высказывания равны "истине". Следовательно, данная формула логики высказываний является тавтологией.