Čo znamená hriech? Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla. Prechod od produktu k sume

Prednáška: Sínus, kosínus, tangens, kotangens ľubovoľného uhla

Sínus, kosínus ľubovoľného uhla

Aby sme pochopili, čo sú goniometrické funkcie, pozrime sa na kruh s jednotkovým polomerom. Táto kružnica má stred v počiatku v rovine súradníc. Na určenie daných funkcií použijeme vektor polomeru ALEBO, ktorý začína v strede kruhu, a bod R je bod na kruhu. Tento vektor polomeru tvorí uhol alfa s osou OH. Pretože kruh má polomer rovný jednej OR = R = 1.

Ak z bodu R znížte kolmicu na os OH, potom dostaneme pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa jednej.

Ak sa vektor polomeru pohybuje v smere hodinových ručičiek, potom sa tento smer nazýva negatívne, ak sa pohybuje proti smeru hodinových ručičiek - pozitívne.

Sínus uhla ALEBO, je ordináta bodu R vektor na kruhu.

To znamená, že na získanie hodnoty sínusu daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu U na povrchu.

Ako bola táto hodnota získaná? Keďže vieme, že sínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej vetvy k prepone, dostaneme, že

A odvtedy R = 1, To sin(α) = y 0 .

V jednotkovej kružnici nemôže byť ordináta menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená

Sínus má kladnú hodnotu v prvej a druhej štvrtine jednotkového kruhu a zápornú hodnotu v tretej a štvrtej.

Kosínus uhla daný kruh tvorený vektorom polomeru ALEBO, je úsečka bodu R vektor na kruhu.

To znamená, že na získanie kosínusovej hodnoty daného uhla alfa je potrebné určiť súradnicu X na povrchu.

Kosínus ľubovoľného uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone, dostaneme, že

A odvtedy R = 1, To cos(α) = x 0 .

V jednotkovom kruhu nemôže byť úsečka menšia ako -1 a väčšia ako 1, čo znamená

Kosínus nadobúda kladnú hodnotu v prvej a štvrtej štvrtine jednotkového kruhu a zápornú hodnotu v druhej a tretej štvrtine.

Tangentaľubovoľný uhol Vypočíta sa pomer sínusu ku kosínusu.

Ak vezmeme do úvahy pravouhlý trojuholník, potom je to pomer protiľahlej strany k susednej strane. Ak hovoríme o jednotkovej kružnici, potom je to pomer ordináty k úsečke.

Súdiac podľa týchto vzťahov je možné pochopiť, že dotyčnica nemôže existovať, ak je hodnota úsečky nula, to znamená v uhle 90 stupňov. Tangenta môže nadobúdať všetky ostatné hodnoty.

Tangenta je kladná v prvej a tretej štvrtine jednotkového kruhu a záporná v druhej a štvrtej.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla vám pomôže pochopiť pravouhlý trojuholník.

Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana \(AC\)); nohy sú dve zostávajúce strany \(AB\) a \(BC\) (tie susediace s pravým uhlom), a ak vezmeme nohy do úvahy vzhľadom na uhol \(BC\), potom noha \(AB\) je susedná noha a noha \(BC\) je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?

Sínus uhla– to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosínus uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.

V našom trojuholníku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangenta uhla– ide o pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).

V našom trojuholníku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens uhla– to je pomer priľahlej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).

V našom trojuholníku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:

Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;

Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.

V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:

Uvažujme napríklad kosínus uhla \(\beta \) . Podľa definície z trojuholníka \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale môžeme vypočítať kosínus uhla \(\beta \) z trojuholníka \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.

Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!

Pre trojuholník \(ABC \) zobrazený na obrázku nižšie nájdeme \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(pole)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(pole) \)

Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol \(\beta \) .

Odpovede: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Jednotkový (trigonometrický) kruh

Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným \(1\) . Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.

Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu sa rovná jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi \(x\) (v našom príklade toto je polomer \(AB\)).

Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici pozdĺž osi \(x\) a súradnici pozdĺž osi \(y\). Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Uvažujme trojuholník \(ACG\) . Je obdĺžnikový, pretože \(CG\) je kolmý na os \(x\).

Čo je \(\cos \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? To je správne \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Okrem toho vieme, že \(AC\) je polomer jednotkovej kružnice, čo znamená \(AC=1\) . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Čomu sa rovná \(\sin \ \alpha \) z trojuholníka \(ACG \)? no, samozrejme, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Dosaďte hodnotu polomeru \(AC\) do tohto vzorca a získajte:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Viete teda povedať, aké súradnice má bod \(C\) patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si uvedomíte, že \(\cos \ \alpha \) a \(\sin \alpha \) sú len čísla? Akej súradnici zodpovedá \(\cos \alpha \)? No, samozrejme, súradnice \(x\)! A akej súradnici zodpovedá \(\sin \alpha \)? Správne, koordinujte \(y\)! Takže pointa \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čomu sa potom \(tg \alpha \) a \(ctg \alpha \) rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:

Čo sa zmenilo v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : uhol (ako susediaci s uhlom \(\beta \) ). Aká je hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:

\(\začiatok(pole)(l)\sin \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\uhol ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\uhol ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(pole) \)

No ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici \(y\) ; hodnota kosínusu uhla - súradnice \(x\) ; a hodnoty tangens a kotangens k príslušným pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.

Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi \(x\). Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek – negatívne.

Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je \(360()^\circ \) alebo \(2\pi \) . Je možné otočiť vektor polomeru o \(390()^\circ \) alebo o \(-1140()^\circ \)? No, samozrejme, môžete! V prvom prípade \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa na pozícii \(30()^\circ \) alebo \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V druhom prípade \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa na pozícii \(-60()^\circ \) alebo \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o \(360()^\circ \cdot m \) alebo \(2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo ), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.

Obrázok nižšie ukazuje uhol \(\beta =-60()^\circ \) . Rovnaký obrázok zodpovedá rohu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom \(\beta +360()^\circ \cdot m\) alebo \(\beta +2\pi \cdot m \) (kde \(m \) je ľubovoľné celé číslo)

\(\begin(pole)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(pole) \)

Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:

\(\begin(pole)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(pole) \)

Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:

Máte ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:

\(\begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(pole)\)

Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: roh dovnútra \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) zodpovedá bodu so súradnicami \(\left(0;1 \right) \), preto:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 90()^\circ \)- neexistuje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) zodpovedajú bodom so súradnicami \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \vpravo) \), resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.

Odpovede:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ \pi \)- neexistuje

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\šípka doprava \text(tg)\ 270()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\šípka doprava \text(ctg)\ 2\pi \)- neexistuje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- neexistuje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:

Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:

\(\left. \begin(pole)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(pole) \right\)\\text(Musíte si to zapamätať alebo vedieť zobraziť!! \) !}

Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) v tabuľke nižšie si musíte pamätať:

Nebojte sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduchého zapamätania zodpovedajúcich hodnôt:

Ak chcete použiť túto metódu, je dôležité zapamätať si sínusové hodnoty pre všetky tri miery uhla ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), ako aj hodnotu dotyčnice uhla v \(30()^\circ \) . Keď poznáte tieto \(4\) hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:

\(\begin(pole)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\koniec (pole)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), ak to viete, môžete obnoviť hodnoty pre \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Čitateľ "\(1 \)" bude zodpovedať \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) a menovateľ "\(\sqrt(\text(3)) \)" bude zodpovedať \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si iba \(4\) hodnoty z tabuľky.

Súradnice bodu na kružnici

Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, ak poznáme súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia? No, samozrejme, môžete! Odvoďme si všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu. Napríklad tu je kruh pred nami:

Je nám daný bod \(K((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- stred kruhu. Polomer kruhu je \(1,5\) . Je potrebné nájsť súradnice bodu \(P\) získané otočením bodu \(O\) o \(\delta \) stupňov.

Ako vidno z obrázku, súradnica \(x\) bodu \(P\) zodpovedá dĺžke úsečky \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dĺžka segmentu \(UK\) zodpovedá súradnici \(x\) stredu kruhu, to znamená, že sa rovná \(3\) . Dĺžka segmentu \(KQ\) môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potom máme pre bod \(P\) súradnicu \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod \(P\) . teda

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Vo všeobecnosti sú teda súradnice bodov určené vzorcami:

\(\začiatok(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(pole) \), Kde

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - súradnice stredu kruhu,

\(r\) - polomer kruhu,

\(\delta \) - uhol natočenia polomeru vektora.

Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:

\(\begin(pole)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(pole) \)

Javascript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Ak chcete vykonávať výpočty, musíte povoliť ovládacie prvky ActiveX!

Keďže miera radiánu uhla je charakterizovaná nájdením veľkosti uhla cez dĺžku oblúka, je možné graficky znázorniť vzťah medzi mierou radiánu a mierou stupňov. Za týmto účelom nakreslíme na rovinu súradníc kružnicu s polomerom 1 tak, aby jej stred bol v počiatku. Nakreslíme kladné uhly proti smeru hodinových ručičiek a záporné uhly v smere hodinových ručičiek.

Stupňovú mieru uhla označujeme ako obvykle a mieru radiánu pomocou oblúkov ležiacich na kružnici. P 0 – začiatok uhla. Zvyšok sú bodky priesečník strán uhla s kružnicou.

Definícia: Kruh s polomerom 1 so stredom v počiatku sa nazýva jednotkový kruh.

Okrem označenia uhlov má tento kruh ešte jednu vlastnosť: môže reprezentovať akékoľvek reálne číslo ako jeden bod tohto kruhu. Dá sa to urobiť rovnako ako na číselnej osi. Je to ako keby sme ohýbali číselnú os tak, aby ležala na kruhu.

P 0 je počiatok, bod čísla 0. Kladné čísla sú označené v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a záporné čísla v zápornom smere (v smere hodinových ručičiek). Úsek rovný α je oblúk P 0 P α .

Akékoľvek číslo môže byť reprezentované bodom P α na kružnici a tento bod je pre každé číslo jedinečný, ale môžete si všimnúť, že množina čísel α + 2πn, kde n je celé číslo, zodpovedá rovnakému bodu P α .

Každý bod má svoje súradnice, ktoré majú špeciálne názvy.

Definícia:Kosínus čísla α sa nazýva úsečka bodu zodpovedajúceho číslu α na jednotkovej kružnici.

Definícia:Sínus čísla α je ordináta bodu zodpovedajúceho číslu α na jednotkovej kružnici.

Pα (cosα, sinα).

Z geometrie:

Kosínus pravouhlého uhla trojuholník - pomer opačného uhla k prepone. V tomto prípade sa prepona rovná 1, to znamená, že kosínus uhla sa meria dĺžkou segmentu OA.

Sínus uhla v pravouhlom trojuholníku– pomer priľahlého ramena k prepone. To znamená, že sínus sa meria dĺžkou segmentu OB.

Zapíšme si definície tangensu a kotangensu čísla.

Kde cos α≠0

Kde hriech α≠0

Úloha nájsť hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ľubovoľného čísla pomocou určitých vzorcov sa redukuje na nájdenie hodnôt sinα, cosα, tanα a ctgα, kde 0≤α≤π/2.

Tabuľka základných hodnôt goniometrických funkcií

α		π/6	π/4	π/3	π/2	π	2π
0°	30°	45°	60°	90°	180°	360°
sinα
čos α				½		-1
opálenie α					-
ctg α	-					-	-

Nájdite význam výrazov.

Učitelia veria, že každý študent by mal byť schopný vykonávať výpočty a poznať trigonometrické vzorce, ale nie každý učiteľ vysvetľuje, čo je sínus a kosínus. Aký je ich význam, kde sa používajú? Prečo hovoríme o trojuholníkoch, ale v učebnici je zobrazený kruh? Skúsme spojiť všetky fakty dokopy.

Školský predmet

Štúdium trigonometrie sa zvyčajne začína v 7. – 8. ročníku strednej školy. V tomto čase sa študentom vysvetľuje, čo sú sínus a kosínus, a sú požiadaní, aby pomocou týchto funkcií riešili geometrické úlohy. Neskôr sa objavujú zložitejšie vzorce a výrazy, ktoré je potrebné algebraicky transformovať (vzorce s dvojitým a polovičným uhlom, mocninné funkcie) a pracuje sa s trigonometrickým kruhom.

Učitelia však nie vždy vedia jasne vysvetliť význam použitých pojmov a použiteľnosť vzorcov. Študent preto často v tomto predmete nevidí zmysel a naučené informácie rýchlo zabudne. Keď však stredoškolákovi vysvetlíte napríklad súvislosť medzi funkciou a kmitavým pohybom, logickú súvislosť si zapamätá na dlhé roky a vtipy o zbytočnosti predmetu sa stanú minulosťou.

Použitie

Pre zaujímavosť sa pozrime do rôznych odvetví fyziky. Chcete určiť dostrel strely? Alebo počítate treciu silu medzi predmetom a určitým povrchom? Hojdanie kyvadla, sledovanie lúčov prechádzajúcich sklom, výpočet indukcie? Trigonometrické pojmy sa vyskytujú takmer v každom vzorci. Čo je teda sínus a kosínus?

Definície

Sínus uhla je pomer protiľahlej strany k prepone, kosínus je pomer priľahlej strany k tej istej prepone. Nie je tu absolútne nič zložité. Možno sú študenti zvyčajne zmätení hodnotami, ktoré vidia v tabuľke trigonometrie, pretože zahŕňa odmocniny. Áno, získať z nich desatinné miesta nie je príliš pohodlné, ale kto povedal, že všetky čísla v matematike sa musia rovnať?

V knihách o problémoch s trigonometriou môžete nájsť vtipnú nápovedu: väčšina odpovedí je tu párna av najhoršom prípade obsahuje odmocninu z dvoch alebo troch. Záver je jednoduchý: ak sa ukáže, že vaša odpoveď je „viacposchodový“ zlomok, dvakrát skontrolujte riešenie, či neobsahuje chyby vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. A s najväčšou pravdepodobnosťou ich nájdete.

Čo si zapamätať

Ako každá veda, aj trigonometria má údaje, ktoré sa treba naučiť.

Najprv by ste si mali zapamätať číselné hodnoty sínusov pravouhlého trojuholníka, kosínusov 0 a 90, ako aj 30, 45 a 60 stupňov. Tieto ukazovatele sa nachádzajú v deviatich z desiatich školských problémov. Pozeraním sa na tieto hodnoty v učebnici stratíte veľa času a počas testu alebo skúšky sa na ne nebudete mať kam pozerať.

Je potrebné mať na pamäti, že hodnota oboch funkcií nemôže presiahnuť jednu. Ak kdekoľvek vo výpočtoch získate hodnotu mimo rozsahu 0-1, zastavte sa a skúste problém znova.

Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu sa rovná jednej. Ak ste už našli jednu z hodnôt, použite tento vzorec na nájdenie zvyšnej hodnoty.

Vety

V základnej trigonometrii existujú dve základné vety: sínusy a kosínusy.

Prvý hovorí, že pomer každej strany trojuholníka k sínusu opačného uhla je rovnaký. Druhým je, že druhú mocninu ktorejkoľvek strany možno získať sčítaním druhých mocnín dvoch zostávajúcich strán a odčítaním ich dvojitého súčinu vynásobeného kosínusom uhla ležiaceho medzi nimi.

Ak teda dosadíme do kosínusovej vety hodnotu uhla 90 stupňov, dostaneme... Pytagorovu vetu. Teraz, ak potrebujete vypočítať plochu obrázku, ktorý nie je pravouhlým trojuholníkom, už sa nemusíte obávať - ​​dve diskutované vety výrazne zjednodušia riešenie problému.

Ciele a ciele

Učenie trigonometrie bude oveľa jednoduchšie, keď si uvedomíte jeden jednoduchý fakt: všetky činnosti, ktoré vykonávate, sú zamerané na dosiahnutie len jedného cieľa. Akékoľvek parametre trojuholníka sa dajú nájsť, ak o ňom poznáte úplné minimum informácií – môže to byť hodnota jedného uhla a dĺžka dvoch strán alebo napríklad troch strán.

Na určenie sínusu, kosínusu, dotyčnice akéhokoľvek uhla sú tieto údaje dostatočné a s ich pomocou môžete ľahko vypočítať plochu obrázku. Takmer vždy odpoveď vyžaduje jednu z uvedených hodnôt a možno ich nájsť pomocou rovnakých vzorcov.

Nezrovnalosti v učení trigonometrie

Jednou z mätúcich otázok, ktorej sa študenti radšej vyhýbajú, je objavovanie súvislostí medzi rôznymi pojmami v trigonometrii. Zdá sa, že trojuholníky sa používajú na štúdium sínusov a kosínusov uhlov, ale z nejakého dôvodu sa symboly často nachádzajú na obrázku s kruhom. Okrem toho existuje úplne nepochopiteľný vlnový graf nazývaný sínusoida, ktorý nemá vonkajšiu podobnosť ani s kruhom, ani s trojuholníkmi.

Okrem toho sa uhly merajú buď v stupňoch alebo v radiánoch a vo vzorcoch sa z nejakého dôvodu objavuje číslo Pi, zapísané jednoducho ako 3,14 (bez jednotiek), čo zodpovedá 180 stupňom. Ako to všetko súvisí?

Jednotky

Prečo je Pi presne 3,14? Pamätáte si, aký je tento význam? Toto je počet polomerov, ktoré sa zmestia do oblúka na polovici kruhu. Ak je priemer kruhu 2 centimetre, obvod bude 3,14 * 2 alebo 6,28.

Druhý bod: možno ste si všimli podobnosť medzi slovami „radián“ a „polomer“. Faktom je, že jeden radián sa číselne rovná uhlu od stredu kruhu k oblúku dlhému jeden polomer.

Teraz skombinujeme získané vedomosti a pochopíme, prečo je v trigonometrii napísané „Pi na polovicu“ na vrchu súradnicovej osi a „Pi“ je napísané vľavo. Toto je uhlová hodnota meraná v radiánoch, pretože polkruh má 180 stupňov alebo 3,14 radiánov. A kde sú stupne, tam sú sínusy a kosínusy. Je ľahké nakresliť trojuholník z požadovaného bodu, pričom sa segmenty odložia do stredu a na súradnicovú os.

Pozrime sa do budúcnosti

Trigonometria, študovaná v škole, sa zaoberá priamočiarym súradnicovým systémom, kde, nech to znie akokoľvek zvláštne, priamka je priamka.

Existujú však aj zložitejšie spôsoby práce s priestorom: súčet uhlov trojuholníka tu bude viac ako 180 stupňov a v našej mysli bude priamka vyzerať ako skutočný oblúk.

Prejdime od slov k činom! Vezmite si jablko. Nožom urobte tri rezy tak, aby ste pri pohľade zhora dostali trojuholník. Vyberte výsledný kúsok jablka a pozrite sa na „rebrá“, kde končí šupka. Vôbec nie sú rovné. Ovocie vo vašich rukách možno bežne nazývať okrúhle, ale teraz si predstavte, aké zložité musia byť vzorce, pomocou ktorých nájdete oblasť odrezaného kusu. Ale niektorí špecialisti riešia takéto problémy každý deň.

Goniometrické funkcie v živote

Všimli ste si, že najkratšia cesta pre lietadlo z bodu A do bodu B na povrchu našej planéty má výrazný oblúkový tvar? Dôvod je jednoduchý: Zem je sférická, čo znamená, že pomocou trojuholníkov nemôžete veľa vypočítať - musíte použiť zložitejšie vzorce.

Pri akýchkoľvek otázkach týkajúcich sa priestoru sa nezaobídete bez sínusu/kosínusu ostrého uhla. Je zaujímavé, že sa tu spája celá kopa faktorov: trigonometrické funkcie sú potrebné pri výpočte pohybu planét po kružniciach, elipsách a rôznych trajektóriách zložitejších tvarov; proces odpaľovania rakiet, satelitov, raketoplánov, odpájania výskumných vozidiel; pozorovanie vzdialených hviezd a štúdium galaxií, ku ktorým sa ľudia v dohľadnej dobe nedostanú.

Vo všeobecnosti je pole pôsobnosti pre človeka, ktorý pozná trigonometriu, veľmi široké a zrejme sa bude časom rozširovať.

Záver

Dnes sme sa dozvedeli, alebo si aspoň zopakovali, čo je sínus a kosínus. Toto sú pojmy, ktorých sa nemusíte báť – stačí ich chcieť a pochopíte ich význam. Pamätajte, že trigonometria nie je cieľom, ale iba nástrojom, ktorý možno použiť na uspokojenie skutočných ľudských potrieb: stavať domy, zaisťovať bezpečnosť premávky, dokonca skúmať rozľahlosť vesmíru.

Skutočne, samotná veda sa môže zdať nudná, ale akonáhle v nej nájdete spôsob, ako dosiahnuť svoje vlastné ciele a sebarealizáciu, proces učenia sa stane zaujímavým a vaša osobná motivácia sa zvýši.

Pre domácu úlohu sa pokúste nájsť spôsoby, ako použiť trigonometrické funkcie v oblasti záujmu, ktorá vás osobne zaujíma. Predstavte si, použite svoju predstavivosť a potom pravdepodobne zistíte, že nové poznatky sa vám budú v budúcnosti hodiť. A okrem toho je matematika užitočná pre všeobecný rozvoj myslenia.

V tomto článku sa na to pozrieme komplexne. Základné goniometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú spojenie medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla a umožňujú nájsť ktorúkoľvek z týchto goniometrických funkcií prostredníctvom známeho iného uhla.

Okamžite uvedieme hlavné trigonometrické identity, ktoré budeme analyzovať v tomto článku. Zapíšme si ich do tabuľky a nižšie uvedieme výstup týchto vzorcov a poskytneme potrebné vysvetlenia.

Navigácia na stránke.

Vzťah medzi sínusom a kosínusom jedného uhla

Niekedy nehovoria o hlavných trigonometrických identitách uvedených v tabuľke vyššie, ale o jednej jedinej základná trigonometrická identita typu . Vysvetlenie tohto faktu je celkom jednoduché: rovnosti sa získajú z hlavnej goniometrickej identity po vydelení oboch jej častí a, resp. A vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. V nasledujúcich odstavcoch si o tom povieme podrobnejšie.

To znamená, že je to rovnosť, ktorá je obzvlášť zaujímavá a ktorá dostala názov hlavnej trigonometrickej identity.

Pred dokázaním hlavnej goniometrickej identity uvádzame jej formuláciu: súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla je zhodne rovný jednej. Teraz to dokážme.

Základná trigonometrická identita sa veľmi často používa pri prevod goniometrických výrazov. Umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu jedného uhla jednotkou. Nie menej často sa základná trigonometrická identita používa v opačnom poradí: jednotka je nahradená súčtom druhých mocnín sínusu a kosínusu ľubovoľného uhla.

Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus

Identity spájajúce tangens a kotangens so sínusom a kosínusom jedného uhla pohľadu a bezprostredne vyplývajú z definícií sínus, kosínus, tangens a kotangens. Podľa definície je sínus ordináta y, kosínus je osa x, dotyčnica je pomer ordináty k úsečke, to znamená, a kotangens je pomer úsečky k zvislej osi, tj. .

Vďaka takejto samozrejmosti identít a Tangenta a kotangens často nie sú definované pomerom úsečky a ordináty, ale pomerom sínusu a kosínusu. Tangenta uhla je teda pomer sínusu ku kosínusu tohto uhla a kotangens je pomer kosínusu a sínusu.

Na záver tohto bodu treba poznamenať, že identity a prebiehajú pre všetky uhly, pri ktorých dávajú zmysel goniometrické funkcie v nich obsiahnuté. Vzorec je teda platný pre ľubovoľný , okrem (inak bude mať menovateľ nulu a my sme nedefinovali delenie nulou) a vzorec - pre všetky , odlišné od , kde z je ľubovoľné .

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

Ešte zreteľnejšou trigonometrickou identitou ako predchádzajúce dve je identita spájajúca tangentu a kotangens jedného uhla tvaru . Je jasné, že platí pre všetky uhly iné ako , inak nie je definovaná ani dotyčnica, ani kotangens.

Dôkaz vzorca veľmi jednoduché. Podľa definície a odkiaľ . Dôkaz mohol byť vykonaný trochu inak. Od r , To .

Tangenta a kotangens rovnakého uhla, pod ktorým dávajú zmysel, sú teda .