Schema lui Horner. Exemple. Ecuația de gradul al patrulea Rezolvarea ecuațiilor în care x la puterea lui 4
La scurt timp după ce Cardano a publicat o metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice, studenții și adepții săi au găsit modalități de a reduce ecuația generală de gradul al patrulea la o ecuație cubică. Să prezentăm cea mai simplă metodă, care îi aparține lui L. Ferrari.
Când prezentați metoda, va trebui să utilizați următoarea lemă elementară.
Lema. Pentru ca un trinom pătratic să fie pătratul unui binom liniar, este necesar și suficient ca discriminantul său să fie egal cu zero.
Dovada. Necesitate. Lăsa . Apoi Suficiență. Lasă Atunci
Ideea metodei prezentate este de a prezenta partea stângă a ecuației ca diferență a două pătrate. Apoi poate fi descompus în doi factori de gradul doi, iar rezolvarea ecuației va duce la rezolvarea a două ecuații pătratice. Pentru a atinge obiectivul, imaginați-vă partea stângă ca:
Aici y este o necunoscută auxiliară, care trebuie selectată astfel încât expresia dintre paranteze pătrate să se dovedească a fi pătratul unui binom liniar. În virtutea lemei, pentru aceasta este necesară și suficientă satisfacerea condiției
Această condiție este o ecuație de gradul trei în raport cu y. După deschiderea parantezelor, acesta este convertit în formular
Fie una dintre rădăcinile acestei ecuații. Atunci condiția va fi îndeplinită, așa că se menține
pentru unele k și I. Ecuația inițială ia forma
Echivalând fiecare dintre factori la zero, vom găsi cele patru rădăcini ale ecuației inițiale.
Să mai facem o remarcă. Fie rădăcinile primului factor și fie rădăcinile celui de-al doilea. Apoi, adăugând aceste egalități, obținem asta
Astfel, am obținut o expresie pentru rădăcina ecuației cubice auxiliare în termeni de rădăcini ale ecuației originale de gradul al patrulea.
Exemplu. Rezolvați ecuația. Conform metodei prezentate mai sus, transformăm partea stângă:
Acum să punem. După formații obținem ecuația
Este ușor de observat că una dintre rădăcinile acestei ecuații este numărul . Înlocuindu-l în partea stângă transformată a ecuației originale, obținem:
Echivalând factorii cu zero, obținem
În ceea ce privește ecuațiile de peste gradul al patrulea, erau cunoscute câteva clase de ecuații de o formă relativ particulară care permiteau soluții algebrice în radicali, adică sub forma rezultatelor operațiilor aritmetice și a acțiunii de extragere a rădăcinii. Totuși, încercările de a oferi soluții la ecuațiile generale de gradul al cincilea și mai mari au fost eșuate până, în cele din urmă, la începutul secolului al XIX-lea. Ruffini și Abel nu au demonstrat că o soluție de acest fel pentru ecuațiile generale de peste gradul al patrulea este imposibilă. În cele din urmă, în 1830, genialul matematician francez E. Galois a reușit să găsească condiții necesare și suficiente (care sunt destul de greu de verificat) pentru solubilitatea unei anumite ecuații în radicali. În același timp, Galois a creat și folosit teoria grupurilor de permutare, care era nouă pentru vremea lui.
2. Ecuație Dacă o egalitate include o literă, atunci egalitatea se numește ecuație.
Ecuația poate fi adevărată pentru unele valori ale acestei scrisori
și incorectă pentru celelalte semnificații ale sale.
De exemplu, ecuația x + 6 = 7
adevărat pentru x = 1
și fals pentru x = 2.
3.
Ecuații echivalente Ecuația liniară este ax + by + c = 0.
De exemplu: 5x – 4y + 6 = 0.
Să exprimăm y:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =
| 5x+6 |
| 4 |
⇒ y = 1,25x + 1,5.
Ecuația rezultată, echivalentă cu prima, are forma
y = kx + m,
unde: x - variabilă independentă (argument);
y - variabilă dependentă (funcție);
k și m sunt coeficienți (parametri).
4 Ecuații echivalente
Cele două ecuații sunt numite echivalent (echivalent), dacă mulțimile tuturor soluțiilor lor coincid sau ambele nu au soluții și notează .
5/Ecuația de gradul I.
Ecuația de gradul întâi poate fi redusă la forma:
topor+b = 0,
Unde X- variabil, AȘi b– câteva numere și A ≠ 0.
De aici este ușor să obțineți valoarea X:
b
x = – -
A
Acesta este sensul X este rădăcina ecuației.
Ecuațiile de gradul întâi au o singură rădăcină.
Ecuația de gradul doi.
Ecuația de gradul doi poate fi redusă la forma:
ax 2 + bx + c = 0,
Unde X- variabil, a, b, c– câteva numere și A ≠ 0.
Numărul de rădăcini ale ecuației de gradul doi depinde de discriminant:
Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini;
Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină;
Daca D< 0, то уравнение корней не имеет.
O ecuație de gradul doi nu poate avea mai mult de două rădăcini.
(despre ce este un discriminant și cum să găsiți rădăcinile unei ecuații, consultați secțiunile „Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Discriminant” și „O altă modalitate de a rezolva o ecuație pătratică”).
Ecuația de gradul trei.
Ecuația de gradul trei poate fi redusă la forma:
topor 3 + bx 2 + cx + d = 0,
Unde X- variabil, a, b, c, d– câteva numere și A ≠ 0.
O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de trei rădăcini.
Ecuația de gradul al patrulea.
Ecuația de gradul al patrulea poate fi redusă la forma:
topor 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,
Unde X- variabil, a, b, c, d, e– câteva numere și A ≠ 0.
O ecuație de gradul trei nu poate avea mai mult de patru rădăcini.
Rezumat:
1) ecuația a cincea, a șasea etc. grade pot fi obținute cu ușurință independent, urmând diagrama de mai sus;
2) ecuația n- gradul nu mai poate avea n rădăcini.
6/O ecuație cu o variabilă este o egalitate care conține o singură variabilă. Rădăcina (sau soluția) unei ecuații este valoarea variabilei la care ecuația se transformă într-o egalitate numerică adevărată.
1. 8/-11/Sisteme de ecuații liniare: concepte de bază Sistem de ecuații liniare.
Sisteme inconsistente și nedefinite de ecuații liniare. Set de ecuații liniare.
Sistem de ecuații liniare este o uniune a n ecuații liniare, fiecare dintre ele conține k variabile. Este scris astfel:
Mulți, când întâlnesc algebră superioară pentru prima dată, cred în mod eronat că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de variabile. În algebra școlară acest lucru se întâmplă de obicei, dar pentru algebra superioară acest lucru nu este, în general, adevărat.
Rezolvarea unui sistem de ecuații este o succesiune de numere ( k 1 , k 2 , ..., k n), care este soluția fiecărei ecuații a sistemului, adică când se substituie în această ecuație în loc de variabile X 1 , X 2 , ..., x n dă egalitatea numerică corectă.
În consecință, rezolvarea unui sistem de ecuații înseamnă a găsi mulțimea tuturor soluțiilor sale sau a demonstra că această mulțime este goală. Deoarece numărul de ecuații și numărul de necunoscute pot să nu coincidă, sunt posibile trei cazuri:
1. Sistemul este inconsecvent, adică setul tuturor soluțiilor este gol. Un caz destul de rar care este ușor de detectat indiferent de metoda folosită pentru a rezolva sistemul.
2. Sistemul este consistent și definit, adică are exact o solutie. Varianta clasică, cunoscută încă de la școală.
3. Sistemul este consistent și nedefinit, adică are o infinitate de solutii. Aceasta este cea mai grea varianta. Nu este suficient să indicați că „sistemul are un set infinit de soluții” - este necesar să descriem modul în care este structurat acest set.
Variabil x i numit permis, dacă este inclusă într-o singură ecuație a sistemului, și cu un coeficient de 1. Cu alte cuvinte, în ecuațiile rămase coeficientul variabilei x i trebuie să fie egal cu zero.
Dacă selectăm o variabilă permisă în fiecare ecuație, obținem un set de variabile permise pentru întregul sistem de ecuații. Sistemul în sine, scris în această formă, va fi numit și rezolvat. În general, unul și același sistem original poate fi redus la altele permise diferite, dar deocamdată nu ne preocupă acest lucru. Iată exemple de sisteme permise:
Ambele sisteme sunt rezolvate variabil X 1 , X 3 și X 4 . Totuși, cu același succes se poate argumenta că al doilea sistem este permis relativ X 1 , X 3 și X 5 . Este suficient să rescrieți ultima ecuație în formă X 5 = X 4 .
Acum să luăm în considerare un caz mai general. Să avem totul k variabile, dintre care r sunt permise. Atunci sunt posibile două cazuri:
1. Numărul de variabile permise r egal cu numărul total de variabile k: r = k. Obținem sistemul de la k ecuaţii în care r = k variabile permise. Un astfel de sistem este comun și definit, pentru că X 1 = b 1 , X 2 = b 2 , ..., x k = b k;
2. Numărul de variabile permise r mai mic decât numărul total de variabile k: r < k. Restul ( k − r) variabilele sunt numite libere - pot lua orice valoare, din care variabilele permise pot fi calculate cu ușurință.
Deci, în sistemele de mai sus variabilele X 2 , X 5 , X 6 (pentru primul sistem) și X 2 , X 5 (pentru al doilea) sunt gratuite. Cazul în care există variabile libere este mai bine formulat ca o teoremă:
Vă rugăm să rețineți: acesta este un punct foarte important! În funcție de modul în care scrieți sistemul rezultat, aceeași variabilă poate fi fie permisă, fie liberă. Majoritatea profesorilor superiori de matematică recomandă să scrieți variabilele în ordine lexicografică, de exemplu. indice ascendent. Cu toate acestea, nu aveți nicio obligație să urmați acest sfat.
Teorema. Dacă sistemul este de la n variabilele ecuației X 1 , X 2 , ..., xr- permis și xr + 1 , xr + 2 , ..., x k- gratuit, atunci:
1. Dacă setați valorile variabilelor libere ( xr + 1 = t r + 1 , xr + 2 = t r + 2 , ..., x k = tk), apoi găsiți valorile X 1 , X 2 , ..., xr, obținem una dintre soluții.
2. Dacă în două soluții coincid valorile variabilelor libere, atunci coincid și valorile variabilelor permise, adică. solutiile sunt egale.
Care este sensul acestei teoreme? Pentru a obține toate soluțiile unui sistem de ecuații rezolvat, este suficient să izolați variabilele libere. Apoi, atribuind diferite valori variabilelor libere, vom obține soluții gata făcute. Asta e tot - în acest fel poți obține toate soluțiile sistemului. Nu există alte soluții.
Concluzie: sistemul de ecuații rezolvat este întotdeauna consistent. Dacă numărul de ecuații dintr-un sistem rezolvat este egal cu numărul de variabile, sistemul va fi definit dacă este mai mic, va fi nedefinit.
Se formează mai multe ecuații Set de ecuații
2. 12,13/ Inegalitatea liniară./ Inegalitățile stricte și nestrictive Ce este inegalitate? Se ia orice ecuație, semnul „=" („egal”) este înlocuit cu un alt semn ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) și se obține o inegalitate.) Ecuația poate fi orice: liniară, pătratică, fracțională, exponențială, trigonometrică, logaritmică etc. și așa mai departe. În consecință, inegalitățile noastre vor fi liniare, pătratice etc.
Ce trebuie să știți despre pictogramele inegalității? Inegalități cu pictograma Mai mult (> ), sau Mai puțin (< ) sunt numite strict. Cu icoane mai mult sau egal (≥ ), mai putin sau egal (≤ ) sunt numite nu strict. Pictogramă nu este egal (≠ ) se deosebește, dar trebuie să rezolvați tot timpul exemplele cu această pictogramă. Și vom decide.)
Pictograma în sine nu are o influență prea mare asupra procesului de soluție. Dar la finalul deciziei, la alegerea răspunsului final, sensul pictogramei apare cu forță! Aceasta este ceea ce vom vedea mai jos în exemple. Sunt niste glume acolo...
Inegalitățile, ca și egalitățile, există credincios și necredincios. Totul este simplu aici, fără trucuri. Să zicem 5 > 2 este o inegalitate adevărată. 5 < 2 - incorect.
Inegalitățile liniare, pătratice, fracționale, exponențiale, trigonometrice și alte inegalități sunt rezolvate în moduri diferite. Fiecare tip are propria sa metodă, propria sa tehnică specială. Dar! Toate aceste tehnici speciale pot fi folosite numai la un tip standard de inegalitate. Acestea. inegalitatea de orice fel trebuie mai întâi a pregati să-ți folosești metoda.
3. 14,16/Proprietățile de bază ale inegalităților/. Acțiuni cu două inegalități.
1) Dacă 
2) Proprietatea tranzitivității. Dacă
3) Dacă adăugați același număr la ambele părți ale unei inegalități adevărate, obțineți o inegalitate adevărată, adică Dacă
4) Dacă transferăm orice termen dintr-o parte a unei inegalități adevărate în alta, schimbându-i semnul în opus, atunci obținem o inegalitate adevărată, i.e. Dacă
5) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același număr pozitiv, obțineți o inegalitate adevărată. De exemplu, dacă
6) Dacă ambele părți ale unei inegalități adevărate sunt înmulțite cu același număr negativ și schimba semnul de inegalitate dimpotrivă, rezultatul este o adevărată inegalitate. De exemplu, dacă
7) Similar regulilor 5) și 6), se aplică regulile de împărțire la același număr. Dacă 
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
Mai întâi trebuie să găsiți o rădăcină folosind metoda de selecție. De obicei este un divizor al termenului liber. În acest caz, divizorii numărului 12 sunt ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Să începem să le înlocuim unul câte unul:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ număr 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ număr -1 nu este o rădăcină a unui polinom
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ număr 2 este rădăcina polinomului
Am găsit una dintre rădăcinile polinomului. Rădăcina polinomului este 2, ceea ce înseamnă că polinomul original trebuie să fie divizibil cu x - 2. Pentru a realiza împărțirea polinoamelor, folosim schema lui Horner:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
Coeficienții polinomului original sunt afișați în linia de sus. Rădăcina pe care am găsit-o este plasată în prima celulă a celui de-al doilea rând 2. A doua linie conține coeficienții polinomului care rezultă din împărțire. Ele sunt numărate astfel:
| În a doua celulă a celui de-al doilea rând scriem numărul 2, pur și simplu deplasându-l din celula corespunzătoare din primul rând. | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
Ultimul număr este restul diviziunii. Dacă este egal cu 0, atunci am calculat totul corect.
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
Dar acesta nu este sfârșitul. Puteți încerca să extindeți polinomul în același mod 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
Din nou, căutăm o rădăcină printre divizorii termenului liber. Divizori de numere -6 sunt ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ număr 1 nu este o rădăcină a unui polinom
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ număr -1 nu este o rădăcină a unui polinom
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ număr 2 nu este o rădăcină a unui polinom
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ număr -2 este rădăcina polinomului
Să scriem rădăcina găsită în schema noastră Horner și să începem să completăm celulele goale:
| În a doua celulă a celui de-al treilea rând scriem numărul 2, pur și simplu deplasându-l din celula corespunzătoare din al doilea rând. | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
Astfel, am factorizat polinomul original:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
Polinom 2x 2 + 5x - 3 poate fi, de asemenea, factorizat. Pentru a face acest lucru, puteți rezolva ecuația pătratică prin discriminant sau puteți căuta rădăcina printre divizorii numărului -3. Într-un fel sau altul, vom ajunge la concluzia că rădăcina acestui polinom este numărul -3
| În a doua celulă a celui de-al patrulea rând scriem numărul 2, pur și simplu deplasându-l din celula corespunzătoare din al treilea rând. | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
Astfel, am descompus polinomul original în factori liniari.
Accesați canalul de youtube al site-ului nostru pentru a fi la curent cu toate noile lecții video.
În primul rând, să ne amintim formulele de bază ale puterilor și proprietățile lor.
Produsul unui număr A apare pe sine de n ori, putem scrie această expresie ca a a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Putere sau ecuații exponențiale– sunt ecuații în care variabilele sunt în puteri (sau exponenți), iar baza este un număr.
Exemple de ecuații exponențiale:
În acest exemplu, numărul 6 este baza este întotdeauna în partea de jos, iar variabila X grad sau indicator.
Să dăm mai multe exemple de ecuații exponențiale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
Acum să vedem cum se rezolvă ecuațiile exponențiale?
Să luăm o ecuație simplă:
2 x = 2 3
Acest exemplu poate fi rezolvat chiar și în capul tău. Se poate observa că x=3. La urma urmei, pentru ca părțile din stânga și din dreapta să fie egale, trebuie să puneți numărul 3 în loc de x.
Acum să vedem cum să oficializăm această decizie:
2 x = 2 3
x = 3
Pentru a rezolva o astfel de ecuație, am eliminat temeiuri identice(adică doi) și a notat ce a mai rămas, acestea sunt grade. Am primit răspunsul pe care îl căutam.
Acum să rezumam decizia noastră.
Algoritm pentru rezolvarea ecuației exponențiale:
1. Trebuie verificat aceeași dacă ecuația are baze la dreapta și la stânga. Dacă motivele nu sunt aceleași, căutăm opțiuni pentru a rezolva acest exemplu.
2. După ce bazele devin aceleași, echivala grade și rezolvați noua ecuație rezultată.
Acum să ne uităm la câteva exemple:
Să începem cu ceva simplu.
Bazele din stânga și din dreapta sunt egale cu numărul 2, ceea ce înseamnă că putem să renunțăm la baza și să le echivalăm puterile.
x+2=4 Se obţine cea mai simplă ecuaţie.
x=4 – 2
x=2
Răspuns: x=2
În exemplul următor puteți vedea că bazele sunt diferite: 3 și 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Mai întâi, mutați cele nouă în partea dreaptă, obținem:
Acum trebuie să faci aceleași baze. Știm că 9=3 2. Să folosim formula puterii (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Se obține 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Acum este clar că în partea stângă și în dreapta bazele sunt aceleași și egale cu trei, ceea ce înseamnă că le putem elimina și echivala gradele.
3x=2x+16 obținem cea mai simplă ecuație
3x - 2x=16
x=16
Răspuns: x=16.
Să ne uităm la următorul exemplu:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
În primul rând, ne uităm la bazele, bazele două și patru. Și avem nevoie să fie la fel. Transformăm cele patru folosind formula (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Și folosim, de asemenea, o formulă a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Adăugați la ecuație:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Am dat un exemplu din aceleași motive. Dar alte numere 10 și 24 ne deranjează Ce să facem cu ele? Dacă te uiți cu atenție, poți vedea că în partea stângă avem 2 2x repetate, iată răspunsul - putem pune 2 2x din paranteze:
2 2x (2 4 - 10) = 24
Să calculăm expresia dintre paranteze:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Împărțim întreaga ecuație la 6:
Să ne imaginăm 4=2 2:
2 2x = 2 2 baze sunt aceleași, le aruncăm și echivalăm gradele.
2x = 2 este cea mai simplă ecuație. Împărțim la 2 și obținem
x = 1
Răspuns: x = 1.
Să rezolvăm ecuația:
9 x – 12*3 x +27= 0
Să transformăm:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Obținem ecuația:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Bazele noastre sunt aceleași, egale cu trei În acest exemplu, puteți vedea că primele trei au un grad de două ori (2x) decât al doilea (doar x). În acest caz, puteți rezolva metoda de înlocuire. Înlocuim numărul cu cel mai mic grad:
Atunci 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Înlocuim toate puterile x din ecuație cu t:
t 2 - 12t+27 = 0
Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând prin discriminant, obținem:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Revenind la variabilă X.
Luați t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Acesta este,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
S-a găsit o rădăcină. Îl căutăm pe al doilea din t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Răspuns: x 1 = 2; x 2 = 1.
Pe site poti adresa orice intrebari ai putea avea in sectiunea AJUTA LA DECIZI, cu siguranta iti vom raspunde.
Alăturați-vă grupului
În cazul general, rezolvarea unei ecuații de gradul al patrulea se realizează folosind metode de rezolvare a ecuațiilor pentru grade superioare, de exemplu, metoda Ferrari sau folosind schema Horner. Dar unele ecuații de gradul 4 au o soluție mai simplă.
Există mai multe tipuri speciale de ecuații de gradul al patrulea, metodele de rezolvare pe care le veți învăța mai jos:
- Ecuație biquadratică $ax^4+bx^2+c=0$;
- Ecuații reciproce de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
- Ecuații de forma $ax^4+b=0$.
Rezolvarea ecuațiilor biquadratice de gradul al patrulea
Ecuațiile biquadratice $ax^4+bx^2+c=0$ sunt reduse la ecuații pătratice prin înlocuirea variabilei $x^2$ cu una nouă, de exemplu, $y$. După înlocuire, noua ecuație rezultată este rezolvată, iar apoi valoarea variabilei găsite este înlocuită în ecuația $x^2=y$. Rezultatul soluției va fi rădăcinile ecuației $x^2=y$.
Exemplul 1
Rezolvați ecuația $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:
Să extindem parantezele din polinom:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
În această formă, devine evident că putem alege expresia $y=x^2-3x$ ca o nouă variabilă:
$y\cdot (y+2)=24$
Acum să rezolvăm două ecuații pătratice $x^2-3x=-4$ și $x^2-3x=-6$.
Rădăcinile primei ecuații sunt $x_1(1,2)=4;-1$, a doua nu are soluții.
Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul 4
Aceste ecuații de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ repetă cu coeficienții lor pentru termeni de ordin inferior coeficienții pentru polinoamele cu grade mai mari. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, mai întâi împărțiți-o la $x^2$:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
Apoi înlocuiți $(x+\frac(1)(x))$ cu o nouă variabilă, apoi $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, după înlocuire obținem următorul pătrat ecuația:
$a(y^2-2)+by+c=0$
După aceasta, căutăm rădăcinile ecuațiilor $x+\frac(1)(x)=y_1$ și $x+\frac(1)(x)=y_2$.
O metodă similară este folosită pentru a rezolva ecuații reciproce de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$.
Exemplul 2
Rezolvați ecuația:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
Această ecuație este o ecuație reciprocă de forma $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$. Prin urmare, împărțim întreaga ecuație la $x^2$:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
Să înlocuim expresia $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
Să calculăm rădăcinile acestei ecuații, ele sunt egale cu $y_1=3$ și $y_2=-\frac(7)(3)$.
În consecință, acum este necesar să rezolvăm două ecuații $x+\frac(2)(x)=3$ și $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$. Soluția primei ecuații este $x_1=1, x_2=2$, a doua ecuație nu are rădăcini.
Prin urmare, rădăcinile ecuației originale sunt $x_1=1, x_2=2$.
Ecuații de forma $ax^4+b=0$
Rădăcinile unei ecuații de acest tip se găsesc folosind formule de înmulțire prescurtate.
