Pro și contra metodei Simpson. Începe în știință. Regula lui Runge pentru evaluarea erorilor practice

Această metodă propune aproximarea integralandului pe un segment parțial printr-o parabolă care trece prin puncte
(x j, f(x j)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm funcția integrand printr-un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi:

După realizarea integrării, obținem:

Asta e Formula lui Simpson sau formula parabolica. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma

O reprezentare grafică a metodei Simpson este prezentată în Fig. 2.4.

Orez. 10.4. Metoda Simpson

Să scăpăm de indicii fracționari din expresia (2.16) prin redesemnarea variabilelor:

Apoi formula lui Simpson va lua forma

Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:

Unde h·n = b-a, . Astfel, eroarea formulei lui Simpson este proporțională cu O(h 4).

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula lui Simpson segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.

10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo

Metodele discutate mai devreme sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.

Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice de rezolvare a problemelor matematice folosind modelarea variabilelor aleatoare. MMC-urile permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când rezolvați probleme care nu au legătură cu nicio probabilitate, puteți veni în mod artificial cu un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care vă permite să rezolvați aceste probleme. Luați în considerare calculul integralei definite

Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiului, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:

Aici γ i este un număr aleator distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMC este ~ , care este semnificativ mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.

În fig. Figura 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei integrale unice cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).

(2.23)

Orez. 10.6. Integrare prin metoda Monte Carlo (al doilea caz)

După cum se poate observa în Fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă suntem capabili să obținem perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile rezultate (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct în pătratul unității. Apoi, dacă se obțin destul de multe dintre aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N– numărul total de perechi de numere.

Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:

Problema a fost rezolvată folosind diverse metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1

Cometariu. Alegerea unei integrale de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm efectul numărului de partiții asupra preciziei calculelor.

11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
SI ECUATII TRANSCENDENTE

Să împărțim segmentul de integrare [ A, b] la un număr par n părți egale în trepte h. Pe fiecare segment [ X 0, X 2], [X 2, X 4],..., [X i-1, X i+1],..., [ X n-2, X n] funcţia integrand f(X) înlocuim cu un polinom de interpolare de gradul doi:

Coeficienții acestor trinoame pătratice pot fi găsiți din condițiile de egalitate a polinomului în punctele datelor tabulare corespunzătoare. Putem lua ca polinom de interpolare Lagrange de gradul doi care trece prin puncte :

Suma ariilor elementare și (Fig. 3.3) poate fi calculată folosind o integrală definită. Ținând cont de egalitățile pe care le obținem

-

Orez. 3.3. Ilustrație a metodei lui Simpson

După ce am efectuat astfel de calcule pentru fiecare segment elementar, rezumăm expresiile rezultate:

Această expresie pentru S se ia ca valoare a integralei definite:

(3.35)

Relația rezultată se numește Formula lui Simpson sau formula parabolă.

Această formulă poate fi obținută în alte moduri, de exemplu, folosind metoda trapezoidală de două ori la partiționarea segmentului [ A, b] în părți cu pași hși 2 h sau prin combinarea formulelor dreptunghiurilor și trapezelor (vezi Secțiunea 3.2.6).

Uneori formula lui Simpson este scrisă folosind indici pe jumătate întregi. În acest caz, numărul de segmente ale partiției P arbitrar (nu neapărat chiar), iar formula lui Simpson are forma

(3.36)

Este ușor de observat că formula (3.36) coincide cu (3.35) dacă se aplică formula (3.35) pentru numărul de segmente ale partiției 2 n si pas h/2.

Exemplu. Calculați integrala folosind metoda lui Simpson

Valorile funcției la n = 10, h = 0,1 sunt date în tabel. 3.3. Aplicând formula (3.35), găsim

Rezultatul integrării numerice folosind metoda lui Simpson s-a dovedit a coincide cu valoarea exactă (șase cifre semnificative).

Unul dintre algoritmii posibili pentru calcularea unei integrale definite folosind metoda lui Simpson este prezentat în Fig. 3.4. Granițele segmentului de integrare [ A, b],eroare ε, precum și o formulă pentru calcularea valorilor integrandului y =f(X) .

Orez. 3.4. Algoritmul metodei Simpson

Inițial, segmentul este împărțit în două părți cu un pas h =(b- a)/2. Se calculează valoarea integralei eu 1. Apoi se dublează numărul de pași, se calculează valoarea eu 2 în trepte h/2. Condiția de încheiere a contului este luată în forma . Dacă această condiție nu este îndeplinită, un nou pas este împărțit în jumătate etc.

Rețineți că este prezentat în fig. 3.4 algoritmul nu este optim: la calcularea fiecărei aproximări eu 2 valori ale funcției nu sunt utilizate f(X), găsit deja în etapa anterioară. Algoritmi mai economici vor fi discutați în secțiune. 3.2.7.

Formulă

Formula lui Simpson este integrala unui polinom de interpolare de gradul doi pe segment:

unde și sunt valorile funcției în punctele corespunzătoare (la capetele segmentului și în mijlocul acestuia).

Eroare

Cu condiția ca funcția de pe segment să aibă o derivată a patra, eroarea, conform formulei găsite de Giuseppe Peano, este egală cu:

Datorită faptului că valoarea este adesea necunoscută, se utilizează următoarea inegalitate pentru a estima eroarea:

Reprezentare sub forma metodei Runge-Kutta

Formula lui Simpson poate fi reprezentată ca un tabel al metodei Runge-Kutta după cum urmează:

Formula compusă (formula Cotes)

Pentru a calcula mai precis integrala, intervalul este împărțit în segmente de lungime egală și pentru fiecare dintre ele se aplică formula lui Simpson. Valoarea integralei originale este suma rezultatelor integrării pe toate segmentele.

unde este dimensiunea pasului și sunt nodurile de integrare, limitele segmentelor elementare pe care se aplică formula lui Simpson. De obicei, pentru o plasă uniformă, această formulă este scrisă în altă notație (segmentul este împărțit în noduri) sub forma

Formula poate fi scrisă și folosind numai valorile cunoscute ale funcției, adică valorile din nodurile:

unde înseamnă că indicele se modifică de la unu în trepte de două. Ar trebui să fiți atenți la dublarea coeficientului înainte de sumă. Acest lucru se datorează faptului că în acest caz rolul nodurilor intermediare este jucat de nodurile de integrare originale.

Eroarea totală la integrarea peste un segment cu un pas (în acest caz, în special, , ) este determinată de formula:

.

Dacă este imposibil să se estimeze eroarea folosind maximul derivatei a patra (de exemplu, nu există pe un interval dat sau tinde spre infinit), se poate folosi o estimare mai grosieră:

.

Note

Literatură

• Kostomarov D. P., Favorsky A. P. „Prelegeri introductive despre metodele numerice”
• Petrov I. B., Lobanov A. I. Prelegeri de matematică computațională

Fundația Wikimedia. 2010.

• Western Union
• Papagal patagonic

Vedeți ce este „Formula Simpson” în alte dicționare:

FORMULA SIMPSON- (formula parabolă) formulă pentru calculul aproximativ al integralelor definite (formula pătratică), Numit după T. Simpson (1743) ... Dicţionar enciclopedic mare

FORMULA SIMPSON- (formula parabolelor), formulă pentru calculul aproximativ al definiției. integrale (formulă în pătrare), având forma în care A = (b a)/2n, fk = f(a + kh), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Numit după T. Simpson (1743)...

Formula Simpson- o formulă pentru calculul aproximativ al integralelor definite, având forma: , unde h = (b a)/2n; fi, = f (a + ih), i = 0, 1, 2,..., 2n. S. f. numită uneori formula parabolă, deoarece derivarea acestei formule se bazează pe... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Formula Simpson- formula parabolă, o formulă pentru calculul aproximativ al integralelor definite (formulă de pătrare), având forma în care h = (b–a)/2n, fk = f(a + kh), k = 0, 1, 2, . .., 2n. Numit după T. Simpson (1743). * * * SIMPSON SIMPSON FORMULA... ... Dicţionar enciclopedic

Formula dreptunghiulară

Formula trapezoidală- Integrală definită ca aria unei figuri Integrarea numerică (denumire istorică: cuadratura) calculul valorii unei integrale determinate (de obicei aproximativă), pe baza faptului că valoarea integralei este numeric egală cu aria. . ... Wikipedia

FORMULA SIMPSON- un caz special al formulei de cuadratura Newton Cotes, în care se iau trei noduri: Fie intervalul [a, b] împărțit în intervale parțiale, i=0, 1, 2, ..., n 1, lungimea h= (b a)/ n, în timp ce n este considerat un număr par și pentru a calcula integrala ... Enciclopedie matematică

Formula Simpson- ... Wikipedia

Metoda Simpson- Formula lui Simpson se referă la metode de integrare numerică. A fost numit după matematicianul britanic Thomas Simpson (1710-1761). Să luăm în considerare segmentul. Fie cunoscute valorile funcției reale f(x) la punctele a, (a+b)/2, b.... ... Wikipedia

FORMULĂ DE CADRATURI- formula utilizată pentru calculul aproximativ al definiției. integrale peste valorile integrandului la un număr finit de puncte. Exemple de K. f. formula dreptunghiulară, formula trapezoidală, formula Simpson... Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Apare o problemă legată de calculul numeric al unei integrale definite, care poate fi rezolvată folosind formule numite formule de cuadratura.

Să ne amintim cele mai simple formule de integrare numerică.

Să calculăm valoarea numerică aproximativă. Împărțim intervalul de integrare [a, b] în n părți egale prin împărțirea punctelor
, numite noduri ale formulei de cuadratura. Să fie cunoscute valorile de la noduri
:

Magnitudinea

numit interval sau pas de integrare. Rețineți că în practică - calcule, numărul i este ales mic, de obicei nu este mai mare de 10-20 pe un interval parțial

integrandul este înlocuit cu un polinom de interpolare

care reprezintă aproximativ funcţia f (x) pe intervalul luat în considerare.

a) Să păstrăm un singur prim termen în polinomul de interpolare, atunci

Formula pătratică rezultată

numită formula dreptunghiului.

b) Să păstrăm primii doi termeni în polinomul de interpolare, atunci

(2)

Formula (2) se numește formulă trapezoidală.

c) Interval de integrare
îl vom împărți într-un număr par de 2n părți egale, iar pasul de integrare h va fi egal cu . Pe interval
de lungime 2h, înlocuim integrandul cu un polinom de interpolare de gradul doi, adică reținem primii trei termeni din polinom:

Formula de cuadratura rezultată se numește formula lui Simpson

(3)

Formulele (1), (2) și (3) au o semnificație geometrică simplă. În formula dreptunghiurilor, funcția integrand f(x) pe interval
se înlocuiește cu un segment de linie dreaptă y = yk, paralel cu axa absciselor, iar în formula trapezoidală - cu un segment de dreaptă
și se calculează aria dreptunghiului și, respectiv, a trapezului rectiliniu, care sunt apoi însumate. În formula lui Simpson, funcția f(x) pe interval
lungimea 2h este înlocuită cu un trinom pătrat - o parabolă
Se calculează aria unui trapez parabolic curbiliniu, apoi se însumează ariile.

CONCLUZIE

La sfârșitul lucrării, aș dori să notez o serie de caracteristici ale aplicării metodelor discutate mai sus. Fiecare metodă de rezolvare aproximativă a unei integrale definite are propriile avantaje și dezavantaje, în funcție de sarcina în cauză, ar trebui utilizate metode specifice.

Metoda de înlocuire a variabilei este una dintre principalele metode de calcul a integralelor nedefinite. Chiar și în cazurile în care integrăm printr-o altă metodă, de multe ori trebuie să apelăm la modificarea variabilelor în calculele intermediare. Succesul integrării depinde în mare măsură de faptul dacă suntem capabili să selectăm o astfel de modificare reușită a variabilelor care ar simplifica integrala dată.

În esență, studiul metodelor de integrare se rezumă la a afla ce fel de înlocuire a variabilei trebuie făcută pentru acest sau acel tip de integrand.

Prin urmare, integrarea oricărei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom și a mai multor fracții simple.

Integrala oricărei funcții raționale poate fi exprimată prin funcții elementare în formă finală și anume:

prin logaritmi – în cazurile fracțiilor simple de tip 1;

prin funcţii raţionale – în cazul fracţiilor simple de tip 2

prin logaritmi și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 3

prin funcții raționale și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 4. Substituția trigonometrică universală raționalizează întotdeauna integrandul, dar duce adesea la fracții raționale foarte greoaie, pentru care, în special, este aproape imposibil să se găsească rădăcinile numitorului. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, se folosesc substituții parțiale, care raționalizează și integrandul și conduc la fracții mai puțin complexe.

Formula Newton-Leibniz este o abordare generală a găsirii integralelor definite.

În ceea ce privește tehnicile de calcul a integralelor definite, acestea nu sunt practic diferite de toate acele tehnici și metode.

Aplicați exact în același mod metode de substituție(schimbarea variabilei), metoda de integrare pe părți, aceleași tehnici de găsire a antiderivate pentru funcții trigonometrice, iraționale și transcendentale. Singura particularitate este că atunci când se utilizează aceste tehnici este necesar să se extindă transformarea nu numai la funcția integrand, ci și la limitele integrării. Când înlocuiți variabila de integrare, nu uitați să modificați limitele integrării în mod corespunzător.

În mod corespunzător din teoremă, condiția pentru continuitatea funcției este o condiție suficientă pentru integrabilitatea unei funcții. Dar asta nu înseamnă că integrala definită există doar pentru funcții continue. Clasa de funcții integrabile este mult mai largă. De exemplu, există o integrală definită de funcții care au un număr finit de puncte de discontinuitate.

Calcularea unei integrale definite a unei funcții continue folosind formula Newton-Leibniz se rezumă la găsirea antiderivatei, care există întotdeauna, dar nu este întotdeauna o funcție elementară sau o funcție pentru care au fost întocmite tabele care fac posibilă obținerea valorii lui integrala. În numeroase aplicații, funcția integrabilă este specificată într-un tabel și formula Newton-Leibniz nu este direct aplicabilă.

Dacă trebuie să obțineți cel mai precis rezultat, este ideal Metoda Simpson.

Din cele studiate mai sus, putem trage următoarea concluzie că integrala este folosită în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Folosind integrala, se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă și traseul parcurs de punctul material. În geometrie este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea arcului unei curbe etc.

Pentru a construi formula Simpson, luăm în considerare mai întâi următoarea problemă: calculați aria S a unui trapez curbiliniu mărginit mai sus de graficul parabolei y = Ax 2 + Bx + C, în stânga de linia x = - h, pe dreapta de dreapta x = h iar dedesubt de segmentul [-h; h]. Lasă parabola să treacă prin trei puncte (Fig. 8): D(-h; y 0) E(0; y 1) și F(h; y 2), și x 2 - x 1 = x 1 - x 0 = h . Prin urmare,

x 1 = x 0 + h = 0; x 2 = x 0 + 2h.

Atunci aria S este egală cu integrala:

Să exprimăm această zonă prin h, y 0, y 1 și y 2. Pentru aceasta, calculăm coeficienții parabolei A, B, C. Din condiția ca parabola să treacă prin punctele D, E și F, avem:

Rezolvând acest sistem, obținem: C = y 1 ; A=

Înlocuind aceste valori ale lui A și C în (3), obținem aria necesară

Să trecem acum la derivarea formulei lui Simpson pentru calcularea integralei

Pentru a face acest lucru, împărțim segmentul de integrare în 2n părți egale de lungime

La punctele de împărțire (Fig. 4 a = x 0, x 1, x 2, ..., x 2n-2, x 2n-1, x 2n = b).

Adăugăm valorile funcției integrand f: y 0, y 1, y 2, ...,y 2n-2, y 2n-1, y 2n, unde y i = f(x i), x i = a + ih (i = 0, 1, 2,...,2n).

Pe segment, înlocuim integrandul cu o parabolă care trece prin punctele (x 0 ; y 0), (x 1 ; y 1) și (x 2 ; y 2), și să calculăm valoarea aproximativă a integralei din x De la 0 la x 2 folosim formula (4 ). Apoi (zona umbrită în Fig. 4):

În mod similar găsim:

................................................

Adunând egalitățile rezultate, avem:

Formula (5) se numește formula Simpson generalizată sau formula parabolă, deoarece atunci când este derivat, graficul integrandului pe un segment parțial de lungime 2h este înlocuit cu arcul unei parabole.

Atribuirea de locuri de muncă:

1. Conform instrucțiunilor profesorului sau în conformitate cu o opțiune de la Mese 4 sarcini (vezi Anexa) iau conditii - functia integrand, limitele integrarii.

2. Creați o diagramă bloc a programului și un program care ar trebui:

Solicitați acuratețea calculului unei anumite integrale, limitele inferioare și superioare de integrare;

Calculați integrala dată folosind următoarele metode: pentru opțiunile 1,4,7, 10... - dreapta, pentru opțiunile 2,5,8,... - mijloc; pentru opțiunile 2,5,8,... - dreptunghiuri din stânga. Tipăriți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Calculați integrala dată prin metoda trapezoidală (pentru opțiunile pare) și metoda Simpson (pentru opțiunile impare).

Tipăriți numărul de partiții ale intervalului de integrare la care este atinsă precizia de calcul specificată;

Ieșiți valorile funcției de control pentru valoarea dată a argumentului și comparați cu valorile calculate ale integralei. A trage concluzii.

Întrebări de control

1. Ce este o integrală definită?

2. De ce, alături de metodele analitice, se folosesc metode numerice pentru calcularea integralelor definite.

3. Care este esența metodelor numerice de bază pentru calcularea integralelor definite.

4. Influența numărului de partiții asupra preciziei calculării unei integrale definite folosind metode numerice.

5. Cum se calculează integrala prin orice metodă cu o precizie dată?