Metoda de integrare directă exemple de soluții. Metode de integrare. Integrarea prin metoda substituției
Integrare directă
Se numește calculul integralelor nedefinite folosind un tabel de integrale și proprietățile lor de bază integrare directă.
Exemplul 1. Să găsim integrala
.
Aplicând proprietățile a doua și a cincea ale integralei nedefinite, obținem
.(*)
Apoi, folosind formuleleII, SH,IV, VIIItabele și a treia proprietate a integralelor, găsim fiecare dintre termenii integralelor separat:
=
,
,
Să substituim aceste rezultate în (*) și, notând suma tuturor constantelor(3 CU 1 +7CU 2 +4CU 3 +2CU 4 +CU 5) scrisoare CU, în sfârșit obținem:
Să verificăm rezultatul prin diferențiere. Să găsim derivata expresiei rezultate:
Am obținut integrandu-ul, asta dovedește că integrarea a fost efectuată corect.
Exemplul 2 . Vom găsi
.
Tabelul integralelor arată corolarulIIIA din formula III:
Pentru a folosi acest corolar, găsim diferența unei funcții în exponent:
Pentru a crea această diferență, este suficient să înmulțiți numitorul fracției de sub integrală cu număr 2 (evident, pentru ca fracția să nu se schimbe, este necesar să se înmulțească cu 2 și numărător). După plasarea factorului constant în afara semnului integral, acesta devine gata să aplice formula tabelarăIIIA:
.
Examinare:
de aceea, integrarea se face corect.
Exemplul 3 . Vom găsi
Deoarece diferența unei funcții pătratice poate fi construită din expresia din numărător, următoarea funcție ar trebui să fie distinsă la numitor:
.
Pentru a-și crea diferența 
este suficient să înmulțim numărătorul cu 4 (înmulțim și numitorul cu 4
și scoateți acest factor al numitorului din integrală). Ca rezultat, vom putea folosi formula tabelarăX:
Examinare:
,
acestea. integrarea a fost realizată corect.
Exemplul 4 . Vom găsi
Rețineți că acum funcția pătratică a cărei diferență 
poate fi creat în numărător, este o expresie radicală. Prin urmare, ar fi rezonabil să scrieți integrandul ca funcție de putere pentru a utiliza formulaeutabele de integrale:
Examinare:
Concluzie: integrala a fost găsită corect.
Exemplu 5. Vom găsi
Să observăm că integrandul conține
funcţie ; și diferența sa. Dar fracția este și diferența întregii expresii radicale (până la semn): 
Prin urmare, este rezonabil să se reprezinte fracția în formă grade:
Apoi, după înmulțirea numărătorului și numitorului cu (-1) obținem o integrală de putere (formula tabelarăeu):
Prin diferențierea rezultatului, ne asigurăm că integrarea este efectuată corect.
Exemplul 6. Vom găsi
Este ușor de observat că în această integrală din expresie diferența funcției radicale nu poate fi obținută folosind coeficienți numerici. Într-adevăr,
,
Unde k -constant. Dar, din experiență exemplu 3 , este posibil să se construiască o integrală care să fie identică ca formă cu formulaXdin tabelul de integrale:
Exemplu 7. Vom găsi
Să fim atenți la faptul că diferența unei funcții cubice poate fi creată cu ușurință în numărătord(X 3 ) = 3 X 2 dx. După care avem ocazia să folosim formula tabelarăVI:
Exemplul 8. Vom găsi
Se știe că derivata funcției arcsin X este o fracție
Apoi
.
Aceasta ne conduce la concluzia că integrala necesară are forma unei integrale de putere: , in careși = arcsin X, care înseamnă
Exemplu 9 . A găsi
să folosim aceeași masă formulă eu si faptul ca
Primim
Exemplul 10 . Vom găsi
Deoarece expresia este diferența funcției, atunci, folosind formula eu tabele de integrale, obținem
Exemplul 11. Pentru a găsi integrala
să folosim secvenţial: formula trigonometrică
,
prin faptul că
si formula IItabele de integrale:
Exemplul 12 . Vom găsi
.
Din moment ce expresia
este diferența funcției , apoi folosind aceeași formulăII, primim
Exemplu 13 . Să găsim integrala
Rețineți că gradul variabilei în numărător este cu unul mai mic decât în numitor. Acest lucru ne permite să creăm o diferență în numărătornumitor. Vom găsi
.
După ce scoatem factorul constant din semnul integral, înmulțim numărătorul și numitorul integrandului cu (-7), obținem:
(Aceeași formulă a fost folosită aiciIIdin tabelul integralelor).
Exemplul 14. Să găsim integrala
.
Să ne imaginăm numărătorul într-o formă diferită: 1 + 2 X 2 = (1 + X 2 )+ x 2 și efectuăm împărțirea termen cu termen, după care folosim a cincea proprietate a integralelor și formuleloreuȘi VIII Mese:
Exemplul 15. Vom găsi
Să luăm factorul constant dincolo de semnul integralei, să scădem și să adunăm 5 la numărător, apoi să împărțim termenul numărătorului cu termen la numitor și să folosim a cincea proprietate a integralei:
Pentru a calcula prima integrală, folosim a treia proprietate a integralelor și prezentăm a doua integrală într-o formă convenabilă pentru aplicarea formuleiIX:
Exemplul 16. Vom găsi
Rețineți că exponentul variabilei în numărător este cu unul mai mic decât în numitor (ceea ce este tipic pentru o derivată), ceea ce înseamnă că diferența numitorului poate fi construită în numărător. Să găsim diferența expresiei în numitor:
d(x 2- 5)=(X 2 - 5)" dx = 2 xdx.
Pentru a obține un factor constant de 2 în numărătorul diferenței numitorului, trebuie să înmulțim și să împărțim integrandul cu 2 și să scoatem factorul constant -
pentru semnul integral
aici noi folositIItabel integral.
Să luăm în considerare o situație similară în exemplul următor.
Exemplul 17. Vom găsi
.
Să calculăm diferența numitorului:
.
Să-l creăm în numărător folosind a patra proprietate a integralelor:
=
O situație similară mai complexă va fi luată în considerare în exemplul 19.
Exemplul 18 Vom găsi
.
Să selectăm un pătrat complet la numitor:
Primim
.
După izolarea pătratului perfect în numitor, am obținut o integrală apropiată ca formă de formuleVIIIȘi IXtabele de integrale, dar în numitorul formuleiVIIItermenii pătratelor complete au aceleași semne, iar în numitorul integralei noastre semnele termenilor sunt diferite, deși nu coincid cu semnele formulei a noua. Obțineți coincidența completă a semnelor termenilor din numitor cu semnele din formulăIXeste posibil prin adăugarea unui coeficient (-1) la integrală. Deci, pentru a aplica formulaIXtabele de integrale, vom desfășura următoarele activități:
1) puneți (-1) în afara parantezelor în numitor și apoi în afara integralei;
2) găsiți diferența expresiei
3) creați diferența găsită în numărător;
4) imaginați-vă numărul 2 într-o formă convenabilă pentru aplicarea formuleiIX Mese:
Apoi
Folosind IXformula tabelului de integrale, obținem
Exemplul 19. Vom găsi
.
Folosind experiența acumulată în găsirea integralelor în cele două exemple precedente și rezultatele obținute în acestea, vom avea
.
Să rezumăm câteva dintre experiența acumulată ca urmare a soluției exemplele 17,18,19.
Deci, dacă avem o integrală a formei
(exemplul 18 ), Acea, prin izolarea pătratului complet în numitor, puteți ajunge la una dintre formulele tabelareVIII sau IX.
Integrala este de formă
(exemplul 19 ) după crearea derivatei numitorului în numărător, se împarte în două integrale: prima este de forma
( exemplul 17 ), luate din formulaP, iar al doilea tip
(exemplul 18 ), luate dintr-una din formuleVIII sau IX.
Exemplul 20 . Vom găsi
.
Integrala formei
poate fi redusă la forma unor formule tabulareX sau XI, evidențiind un pătrat complet în expresia radicală. ÎNîn cazul nostru
= 
.
Expresia radicală are forma
Același lucru se face întotdeauna când se calculează integralele formei
,
dacă unul dintre exponenți este un număr impar pozitiv și al doilea este un număr real arbitrar (exemplul 23 ).
Exemplu 23 . Vom găsi
Folosind experiența exemplului anterior și identitatea
2 sin 2 φ = l - cos 2 φ ,2 cos 2 φ = l + cos 2 φ
Înlocuind suma rezultată în integrală, obținem
Această metodă se reduce la integrarea ecuației diferențiale a axei curbe a grinzii (9.1) cu legea cunoscută a modificării momentelor încovoietoare. M(X). Presupunând că rigiditatea la încovoiere a grinzii este constantă (EJ z= const) și integrând secvențial ecuația (9.1), obținem
În expresiile (9.5) și mai jos, pentru a simplifica notația, indicii momentelor de inerție și momentelor încovoietoare sunt omiși.
Expresiile (9.5) ne permit să obținem legi analitice pentru modificările deformațiilor și unghiurilor de rotație dintr-un fascicul. Constante de integrare incluse în (9.5) C 1și C 2 sunt supuse determinării din condițiile la limită cinematice și condițiile de conectare a secțiunilor grinzii.
Condițiile cinematice la limită reflectă natura fixării (suportului) grinzii și sunt stabilite în raport cu deviațiile și unghiurile de rotație. De exemplu, pentru o grindă susținută simplu (Fig. 9.4), condițiile la limită caracterizează absența deformațiilor pe suporturi: x = 0, x = /, v = 0. Pentru o grindă în consolă (Fig. 9.5), condițiile la limită caracterizează egalitatea deformației și unghiului de rotație în ansamblul rigid la zero: x = 0, v= 0; av = 0.
Condițiile de potrivire sunt stabilite la limitele secțiunilor cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare. În absența balamalelor intermediare și a așa-numitelor mecanisme paralelograme (glisoare), condițiile de împerechere constau în egalitatea deflexiunilor și unghiurilor de rotație în secțiunile din stânga și dreapta limitei secțiunilor, adică ele caracterizează continuitatea și netezimea axei curbe a fasciculului. De exemplu, pentru fasciculul din Fig. 9.4 se poate scrie: X = A,și = și
În prezența P secțiuni cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare, expresia pentru deformare va conține 2 P constante de integrare. Folosind condițiile la limită și condițiile pentru conectarea secțiunilor, putem obține sistemul 2 P ecuații algebrice liniare în raport cu aceste constante. După determinarea tuturor constantelor de integrare, se vor stabili legile modificării u(x) și ср(х) în fiecare secțiune a fasciculului. Să ne uităm la exemple de determinare a deformațiilor și unghiurilor de rotație în grinzi folosind metoda de integrare directă.
Exemplul 9.1. Să determinăm expresii analitice pentru u(lc) și cp(x) într-o grindă cantilever încărcată cu o sarcină uniform distribuită (Fig. 9.6) și să calculăm valorile acestor mărimi la capătul liber.
Momentul încovoietor al grinzii pe toată lungimea sa variază conform legii unei parabole pătrate:
Să substituim această expresie în soluția (9.5) și să o integrăm:
Folosind condițiile la limită, determinăm constantele de integrare:
Să notăm expresiile finale pentru deviații și unghiuri de rotație în fascicul și să determinăm valorile acestor mărimi la capătul liber: 
Exemplul 9.2. Pentru o grindă pur și simplu susținută încărcată la capăt cu o forță concentrată (Fig. 9.7), definim expresii pentru y(x) și (p(x) și calculăm valorile acestor mărimi în secțiuni caracteristice. 
Diagramă M prezentată în fig. 9.7. Momentele încovoietoare au legi diferite de modificare în prima și a doua secțiune a grinzii. Integram ecuația diferențială a axei curbe în fiecare secțiune.
Prima secțiune (0 2a):
Secțiunea a doua (2 A
Pentru a determina cele patru constante de integrare C, C 2, DxȘi D 2 stabilim condiții limită și condiții pentru conectarea secțiunilor:
Din condiția de conjugare a secțiunilor, obținem egalitatea constantelor de integrare din prima și a doua secțiune: C ( = D v C 2 = D T Folosind condiții la limită, găsim valorile constantelor:
Să notăm expresiile finale pentru u(x) și cp(x) în fiecare secțiune: 
În aceste expresii, o bară verticală cu un număr în partea de jos corespunde limitei fiecărei zone. În cadrul primei secțiuni vși cp sunt determinate de funcțiile până la linia verticală cu numărul 1, iar în cadrul celei de-a doua secțiuni - până la linia verticală cu numărul 2, adică de toate funcțiile.
Să calculăm vși (p în secțiunile caracteristice ale fasciculului:
În prima secțiune, semnul unghiului de rotație se schimbă în opus. Să setăm poziția secțiunii în care unghiul de rotație devine zero:
În secțiunea x =x Q deformarea fasciculului are un extremum. Ii calculăm valoarea:
Pentru comparație, determinăm cantitatea de deviere a fasciculului în mijlocul travei:
Se poate observa că deformarea extremă diferă foarte puțin (cu 2,6%) de deformarea din mijlocul travei.
Să efectuăm un calcul numeric la P= 20 kN și A= 1,6 m Să selectăm secțiunea grinzii sub forma unei grinzi în I de oțel laminate, luând factorul de fiabilitate a sarcinii. y^= 1.2, coeficientul condițiilor de funcționare y c = 1, rezistența de proiectare a materialului R= 210 MPa = = 21 kN/cm 2 și modulul de elasticitate al oțelului E- 2,1 104 kN/cm2.
Acceptăm 120, W z = 184 cm 3, J= 1840 cm 4.
Să calculăm cele mai mari valori ale unghiului de rotație și de deviere în fascicul. Conform SNiP, efectuăm calcule bazate pe efectul sarcinilor standard.
Din exemplul luat în considerare este clar că dacă există mai multe secțiuni în grinda cu legi diferite de modificare a momentelor încovoietoare, metoda integrării directe devine greoaie și incomodă.
Este prezentată o trecere în revistă a metodelor de calcul a integralelor nedefinite. Sunt luate în considerare principalele metode de integrare, care includ integrarea sumei și diferenței, plasarea unei constante în afara semnului integral, înlocuirea unei variabile și integrarea pe părți. De asemenea, sunt discutate metode și tehnici speciale de integrare a fracțiilor, rădăcinilor, funcțiilor trigonometrice și exponențiale.
ConţinutRegula pentru integrarea sumelor (diferențelor)
Mutarea constantei în afara semnului integral
Fie c o constantă independentă de x. Apoi poate fi scos din semnul integral:
Înlocuire variabilă
Fie x o funcție a variabilei t, x = φ(t), atunci
.
Sau invers, t = φ(x) ,
.
Folosind o modificare a variabilei, nu puteți doar să calculați integrale simple, ci și să simplificați calculul celor mai complexe.
Regula integrării prin părți
Integrarea fracțiilor (funcții raționale)
Să introducem notația. Fie P k (x), Q m (x), R n (x) să desemneze polinoame de grade k, m, n, respectiv, în raport cu variabila x.
Considerăm o integrală formată dintr-o fracție de polinoame (așa-numita funcție rațională):
Dacă k ≥ n, atunci trebuie mai întâi să selectați întreaga parte a fracției:
.
Integrala polinomului S k-n (x) se calculează folosind tabelul de integrale.
Integrala rămâne:
, unde m< n
.
Pentru a-l calcula, integrandul trebuie descompus în fracții simple.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți rădăcinile ecuației:
Q n (x) = 0 .
Folosind rădăcinile obținute, trebuie să reprezentați numitorul ca un produs al factorilor:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Aici s este coeficientul pentru x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
După aceasta, descompuneți fracția în cea mai simplă formă:
Integrand se obtine o expresie formata din integrale mai simple.
Integrale ale formei
sunt reduse la substituție tabulară t = x - a.
Luați în considerare integrala:
Să transformăm numărătorul:
.
Înlocuind în integrand, obținem o expresie care include două integrale:
,
.
Prima, prin substituție t = x 2 + ex + f, se reduce la una tabelară.
În al doilea rând, conform formulei de reducere:
se reduce la integrală
Să reducem numitorul său la suma pătratelor:
.
Apoi, prin substituție, integrala
este de asemenea intabulat.
Integrarea funcțiilor iraționale
Să introducem notația. Fie R(u 1, u 2, ..., u n) să însemne o funcție rațională a variabilelor u 1, u 2, ..., u n. Acesta este
,
unde P, Q sunt polinoame în variabilele u 1, u 2, ..., u n.
Iraționalitate liniară fracțională
Să luăm în considerare integralele de forma:
,
unde sunt numere raționale, m 1, n 1, ..., m s, n s sunt numere întregi.
Fie n numitorul comun al numerelor r 1, ..., r s.
Atunci integrala se reduce la integrala funcțiilor raționale prin substituție:
.
Integrale din binoame diferențiale
Luați în considerare integrala:
,
unde m, n, p sunt numere raționale, a, b sunt numere reale.
Astfel de integrale se reduc la integrale ale funcțiilor raționale în trei cazuri.
1) Dacă p este un număr întreg. Înlocuirea x = t N, unde N este numitorul comun al fracțiilor m și n.
2) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a x n + b = t M, unde M este numitorul numărului p.
3) Dacă - un număr întreg. Înlocuirea a + b x - n = t M, unde M este numitorul numărului p.
Dacă niciunul dintre cele trei numere nu este un întreg, atunci, conform teoremei lui Cebyshev, integralele de acest tip nu pot fi exprimate printr-o combinație finită de funcții elementare.
În unele cazuri, este mai întâi util să reduceți integrala la valori mai convenabile m și p. Acest lucru se poate face folosind formule de reducere:
;
.
Integrale care conțin rădăcina pătrată a unui trinom pătrat
Aici luăm în considerare integralele de formă:
,
substituții lui Euler
Astfel de integrale pot fi reduse la integrale ale funcțiilor raționale ale uneia dintre cele trei substituții Euler:
, pentru a > 0;
, pentru c > 0 ;
, unde x 1 este rădăcina ecuației a x 2 + b x + c = 0. Dacă această ecuație are rădăcini reale.
Substituții trigonometrice și hiperbolice
Metode directe
În cele mai multe cazuri, substituțiile lui Euler au ca rezultat calcule mai lungi decât metodele directe. Folosind metode directe, integrala se reduce la una dintre formele enumerate mai jos.
Tipul I
Integrala formei:
,
unde P n (x) este un polinom de grad n.
Astfel de integrale se găsesc prin metoda coeficienților nedeterminați folosind identitatea:
Diferențiând această ecuație și echivalând laturile stângă și dreaptă, găsim coeficienții A i.
Tipul II
Integrala formei:
,
unde P m (x) este un polinom de gradul m.
Înlocuirea t = (x - α) -1 această integrală este redusă la tipul anterior. Dacă m ≥ n, atunci fracția ar trebui să aibă o parte întreagă.
tipul III
Al treilea și cel mai complex tip:
.
Aici trebuie să faceți o înlocuire:
.
După care integrala va lua forma:
.
Apoi, constantele α, β trebuie alese astfel încât coeficienții pentru t să devină zero:
B = 0, B 1 = 0.
Apoi integrala se descompune în suma de integrale de două tipuri:
;
,
care sunt integrate, respectiv, prin substituții:
z2 = A1t2 + C1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .
Caz general
Integrarea funcțiilor transcendentale (trigonometrice și exponențiale).
Să remarcăm în prealabil că metodele care sunt aplicabile pentru funcțiile trigonometrice sunt aplicabile și pentru funcțiile hiperbolice. Din acest motiv, nu vom lua în considerare integrarea funcțiilor hiperbolice separat.
Integrarea funcțiilor trigonometrice raționale ale cos x și sin x
Să considerăm integralele funcțiilor trigonometrice de forma:
,
unde R este o funcție rațională. Aceasta poate include, de asemenea, tangente și cotangente, care ar trebui convertite folosind sinusuri și cosinus.
Atunci când integrați astfel de funcții, este util să aveți în vedere trei reguli:
1) dacă R( cos x, sin x)înmulțit cu -1 din modificarea semnului înaintea uneia dintre cantități cos x sau sin x, atunci este util să-l notăm pe celălalt dintre ele prin t.
2) dacă R( cos x, sin x) nu se schimbă din cauza unei schimbări de semn în același timp înainte cos xȘi sin x, atunci este util să punem tg x = t sau pat x = t.
3) substituția duce în toate cazurile la integrala unei fracții raționale. Din păcate, această înlocuire are ca rezultat calcule mai lungi decât cele anterioare, dacă este cazul.
Produsul funcțiilor de putere ale cos x și sin x
Să luăm în considerare integralele de forma:
Dacă m și n sunt numere raționale, atunci una dintre substituțiile t = sin x sau t = cos x integrala se reduce la integrala binomului diferential.
Dacă m și n sunt numere întregi, atunci integralele sunt calculate prin integrare pe părți. Aceasta produce următoarele formule de reducere:
;
;
;
.
Integrare pe părți
Aplicarea formulei lui Euler
Dacă integrandul este liniar în raport cu una dintre funcții
cos ax sau sinax, atunci este convenabil să aplicați formula lui Euler:
e iax = cos ax + isin ax(unde i 2 = - 1
),
înlocuind această funcție cu e iaxși evidențierea celui real (la înlocuire cos ax) sau parte imaginară (la înlocuire sinax) din rezultatul obţinut.
Referinte:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Culegere de probleme de matematică superioară, „Lan”, 2003.
Deoarece acum vom vorbi doar despre integrala nedefinită, de dragul conciziei vom omite termenul „nedefinit”.
Pentru a învăța cum să calculezi integralele (sau, după cum se spune, să integrezi funcții), mai întâi trebuie să înveți tabelul integralelor:
Tabelul 1. Tabelul integralelor
|
2.
2a. 2b. 2c. 3.
3a. 4.
5.
5a) 6a. 7.
7a. |
8.
9.
10.
10a. 11.
11a. 12.
13.
13a. |
(
),
u>0.
(α=0);
(α=1);
(α= 
).
În plus, veți avea nevoie de capacitatea de a calcula derivata unei anumite funcții, ceea ce înseamnă că trebuie să vă amintiți regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare de bază:
Tabelul 2. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere:
 6.a .
|
(păcat Și) = cos Și Și (cos u) = – sin Și Și |
|
De asemenea, avem nevoie de capacitatea de a găsi diferența unei funcții. Amintiți-vă că diferența funcției 
găsi prin formulă 
, adică diferenţialul unei funcţii este egal cu produsul derivatei acestei funcţii şi diferenţialul argumentului ei. Este util să aveți în vedere următoarele relații cunoscute:
Tabelul 3. Tabelul diferențial
|
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
|
10.
11.
12.
14.
15.
16.
17.
|
(b=
Const)
(
)
(b=
Const)
Mai mult, aceste formule pot fi folosite fie citindu-le de la stânga la dreapta, fie de la dreapta la stânga.
Să luăm în considerare secvenţial cele trei metode principale de calcul a integralei. Primul dintre ei se numește prin metoda integrarii directe. Se bazează pe utilizarea proprietăților integralei nedefinite și include două tehnici principale: extinderea unei integrale într-o sumă algebrică mai simplu şi subscriind la semnul diferenţial, iar aceste tehnici pot fi utilizate atât independent, cât și în combinație.
A) Sa luam in considerare expansiunea sumei algebrice– această tehnică presupune utilizarea transformărilor identice ale integrandului și proprietăților de liniaritate ale integralei nedefinite: 
Și .
Exemplul 1. Aflați integralele:
A)
;
b)
;
V)
G)
e) 
.
Soluţie.
A)Să transformăm integralul împărțind numărătorul la numitorul termen cu termen:
Proprietatea puterilor este folosită aici: 
.
b) Mai întâi, transformăm numărătorul fracției, apoi împărțim termenul numărător cu termen la numitor:
Proprietatea gradelor este folosită și aici: 
.
Proprietatea folosită aici este: 
,
.
.
Formulele 2 și 5 din tabelul 1 sunt utilizate aici.
Exemplul 2. Aflați integralele:
A)
;
b)
;
V)
G)
e) 
.
Soluţie.
A)Să transformăm integrandul folosind identitatea trigonometrică:
.
Aici folosim din nou împărțirea termen cu termen a numărătorului după numitor și formulele 8 și 9 din tabelul 1.
b) Transformăm similar, folosind identitatea 
:
.
c) Mai întâi, împărțiți termenul numărător cu termen la numitor și scoateți constantele din semnul integral, apoi folosiți identitatea trigonometrică 
:
d) Aplicați formula de reducere a gradului:
,
e) Folosind identități trigonometrice, transformăm:
B) Să luăm în considerare tehnica de integrare, care se numește n punându-l sub semnul diferenţial. Această tehnică se bazează pe proprietatea de invarianță a integralei nedefinite:
Dacă 
, apoi pentru orice funcție diferențiabilă Și = Și(X) apare: 
.
Această proprietate ne permite să extindem semnificativ tabelul de integrale simple, deoarece datorită acestei proprietăți formulele din tabelul 1 sunt valabile nu numai pentru variabila independentă Și, dar și în cazul în care Și– o funcție diferențiabilă a unei alte variabile.
De exemplu, 
, dar de asemenea 
, Și 
, Și 
.
Sau 
Și 
, Și 
.
Esența metodei este de a izola diferența unei anumite funcții într-un integrand dat, astfel încât această diferență izolată, împreună cu restul expresiei, să formeze o formulă tabelară pentru această funcție. Dacă este necesar, în timpul unei astfel de conversii, constantele pot fi adăugate corespunzător. De exemplu:
(în ultimul exemplu scris ln(3 + X 2) în loc de ln|3 + X 2 | , deoarece expresia este 3 + X 2 este întotdeauna pozitiv).
Exemplul 3.
Aflați integralele:
A)
;
b)
; V)
;
G)
; e)
; e)
;
și)
; h)
.
Soluţie.
A) .
Aici sunt utilizate formulele 2a, 5a și 7a din tabelul 1, ultimele două fiind obținute tocmai prin subsumarea semnului diferențial:
Integrați funcții de vizualizare 
apare foarte des în cadrul calculului integralelor de funcții mai complexe. Pentru a nu repeta de fiecare dată pașii descriși mai sus, vă recomandăm să vă amintiți formulele corespunzătoare date în Tabelul 1.
.
Formula 3 din tabelul 1 este utilizată aici.
c) În mod similar, ținând cont de faptul că , transformăm:
.
Formula 2c din tabelul 1 este utilizată aici.
G)
.
d) ;
e)
.
și) ;
h)
.
Exemplul 4. Aflați integralele:
A)
b)
V) 
.
Soluţie.
a) Să transformăm:
Formula 3 din tabelul 1 este, de asemenea, utilizată aici.
b) Folosim formula de reducere a gradului 
:
Formulele 2a și 7a din tabelul 1 sunt utilizate aici.
Aici, împreună cu formulele 2 și 8 din tabelul 1, sunt utilizate și formulele din tabelul 3: 
,
.
Exemplul 5. Aflați integralele:
A) 
;
b) 
V) 
; G) 
.
Soluţie.
a) Munca 
poate fi completat (vezi formulele 4 și 5 din Tabelul 3) la diferența funcției 
, Unde AȘi b- orice constante, 
. Într-adevăr, de unde 
.
Atunci noi avem:
.
b) Folosind formula 6 din tabelul 3, avem 
, și 
, ceea ce înseamnă prezența în integrand a produsului 
înseamnă un indiciu: sub semnul diferențial trebuie să introduceți expresia 
. Prin urmare primim
c) La fel ca la punctul b), produsul 
poate fi extinsă la funcții diferențiale 
. Apoi obținem:
.
d) Mai întâi folosim proprietățile liniarității integralei:
Exemplul 6. Aflați integralele:
A)
;
b)
;
V)
; G)
.
Soluţie.
A)Având în vedere că
(formula 9 din tabelul 3), transformăm:
b) Folosind formula 12 din tabelul 3, obținem
c) Ținând cont de formula 11 din tabelul 3, transformăm
d) Folosind formula 16 din tabelul 3, obținem:
.
Exemplul 7. Aflați integralele:
A)
;
b)
;
V)
;
G)
.
Soluţie.
A)Toate integralele prezentate în acest exemplu au o caracteristică comună: Integrandul conține un trinom pătratic. Prin urmare, metoda de calcul a acestor integrale se va baza pe aceeași transformare - izolarea pătratului complet din acest trinom pătratic.
.
b)
.
V)
G)
Metoda de substituire a unui semn diferențial este o implementare orală a unei metode mai generale de calcul a unei integrale, numită metoda substituției sau schimbarea variabilei. Într-adevăr, de fiecare dată, selectând o formulă potrivită în tabelul 1 pentru cea obţinută ca urmare a subsumării semnului diferenţial al funcţiei, am înlocuit mental litera Și functie introdusa sub semnul diferential. Prin urmare, dacă integrarea prin subsumarea semnului diferențial nu funcționează foarte bine, puteți schimba direct variabila. Mai multe detalii despre acest lucru în paragraful următor.
Problema găsirii unei funcții antiderivate nu are întotdeauna o soluție, în timp ce putem diferenția orice funcție. Aceasta explică lipsa unei metode de integrare universală.
În acest articol ne vom uita la metodele de bază pentru găsirea integralei nedefinite folosind exemple cu soluții detaliate. De asemenea, vom grupa tipurile de funcții integrante caracteristice fiecărei metode de integrare.
Navigare în pagină.
Integrare directă.
Fără îndoială, principala metodă de a găsi o funcție antiderivată este integrarea directă folosind un tabel de antiderivate și proprietățile integralei nedefinite. Toate celelalte metode sunt folosite numai pentru a reduce integrala originală la formă tabelară.
Exemplu.
Aflați mulțimea de antiderivate ale funcției.
Soluţie.
Să scriem funcția sub forma .
Întrucât integrala unei sume de funcții este egală cu suma integralelor, atunci
Coeficientul numeric poate fi scos din semnul integral: 
Prima dintre integrale este redusă la formă tabelară, prin urmare, din tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială avem 
.
Pentru a găsi a doua integrală, folosim tabelul de antiderivate pentru funcția de putere 
si regula 
. Acesta este, .
Prin urmare, 
Unde
Integrarea prin metoda substituţiei.
Esența metodei este că introducem o nouă variabilă, exprimăm integrandul prin această variabilă și, ca urmare, ajungem la o formă tabelară (sau mai simplă) a integralei.
Foarte des, metoda substituției vine în ajutor atunci când se integrează funcții trigonometrice și funcții cu radicali.
Exemplu.
Aflați integrala nedefinită 
.
Soluţie.
Să introducem o nouă variabilă. Să exprimăm x prin z: 
Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală: 
Din tabelul de antiderivate avem 
.
Rămâne să revenim la variabila inițială x: 
Răspuns:
Foarte des se folosește metoda substituției la integrarea funcțiilor trigonometrice. De exemplu, utilizarea substituției trigonometrice universale vă permite să transformați integrandul într-o formă rațională fracțională.
Metoda substituției vă permite să explicați regula integrării .
Introducem o nouă variabilă, atunci
Înlocuim expresiile rezultate în integrala originală: 
Dacă acceptăm și revenim la variabila inițială x, obținem 
Prezentarea semnului diferenţial.
Metoda de subsumare a semnului diferenţial se bazează pe reducerea integrandului la formă 
. În continuare, se utilizează metoda substituției: se introduce o nouă variabilă și după găsirea antiderivatei pentru noua variabilă, revenim la variabila inițială, adică 
Pentru comoditate, plasați-l în fața ochilor sub formă de diferențiale pentru a ușura transformarea integrandului, precum și un tabel de antiderivate pentru a vedea în ce formă să convertiți integrandul.
De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției cotangente.
Exemplu.
Aflați integrala nedefinită.
Soluţie.
Integrandul poate fi transformat folosind formule de trigonometrie: 
Privind tabelul derivatelor, ajungem la concluzia că expresia din numărător poate fi subsumată semnului diferențial 
, De aceea 
Acesta este 
.
Să fie atunci 
. Din tabelul antiderivatelor vedem că 
. Revenind la variabila inițială 
.
Fără explicații, soluția se scrie după cum urmează: 
Integrare pe părți.
Integrarea pe părți se bazează pe reprezentarea integrandului ca produs și apoi aplicarea formulei. Această metodă este un instrument de integrare foarte puternic. În funcție de integrand, metoda integrării prin piese trebuie uneori aplicată de mai multe ori la rând înainte de a obține un rezultat. De exemplu, să găsim setul de antiderivate ale funcției arctangente.
Exemplu.
Calculați integrala nedefinită.
Soluţie.
Să fie atunci 
Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți funcția v(x) nu adăugați o constantă arbitrară C.
Acum aplicăm formula de integrare prin părți: 
Calculăm ultima integrală folosind metoda subsumării ei sub semnul diferențial.
De atunci 
. De aceea 
Prin urmare, 
Unde .
Răspuns:
Principalele dificultăți în integrarea pe părți apar din alegere: ce parte a integrandului să ia ca funcție u(x) și care parte ca diferențială d(v(x)). Cu toate acestea, există o serie de recomandări standard, cu care vă recomandăm să vă familiarizați în secțiunea Integrare pe părți.
Când integrați expresii de putere, de exemplu sau , utilizați formule recurente care vă permit să reduceți gradul de la pas la pas. Aceste formule sunt obținute prin integrare succesivă repetată pe părți. Vă recomandăm să vă familiarizați cu integrarea secțiunilor folosind formule de recurență.
În concluzie, aș dori să rezum tot materialul din acest articol. Baza fundamentelor este metoda integrării directe. Metodele de substituție, de substituție sub semn diferențial și metoda de integrare pe părți fac posibilă reducerea integralei originale la una tabelară.
