Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Непрерывность функции на интервале и на отрезке Функции на отрезке
Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на некотором интервале, содержащем точку `ainR`. Точка `a` называется точкой локального максимума
функции `f`, если существует `epsilon` - окрестность точки `a` что для любого `x!=a` из этой окрестности `f(x) Если выполнено неравенство `f(x)>f(a)`, то `a` называется точкой локального минимума
функции `f`. Точки локального максимума и локального минимума называют точками локального экстремума.
Теорема 5.1 (Ферма)
Если точка `a` является точкой локального экстремума функции `y=f(x)` и функция `f` имеет производную в этой точке, то `f^"(a)=0`. Физический смысл: при одномерном движении с возвращением в точке максимального удаления должна быть остановка. Геометрический смысл: касательная в точке локального экстремума горизонтальна. Замечание. Из теоремы Ферма следует, что если функция имеет экстремум в точке `a`, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует. Например, функция `y=|x|` имеет минимум в точке `x=0`, а производная в этой точке не существует (см. пример 4.2). Точки, в которых функция определена, а производная равна нулю или не существует, будем называть критическими
.
Итак, если у функции имеются точки экстремума, то они лежат среди критических точек (критические точки «подозрительны» на экстремум). Для формулировки условий, обеспечивающих наличие экстремума в критической точке, нам потребуется следующее понятие. Напомним, что под промежутком понимается интервал (конечный или бесконечный), полуинтервал или отрезок числовой прямой. Определение
Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I`. 1) Функция `y=f(x)` возрастает
2) Функция `y=f(x)` убывает
на `I`, если для любых `x,yinI`, `x Если функция возрастает или убывает на `I`, то говорят, что функция монотонна
на промежутке `I`. Условия монотонности
. Пусть функция `y=f(x)` определена на промежутке `I` с концами `a`, `b`, дифференцируема на `(a, b)` и непрерывна в концах, если они принадлежат `I`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a, b)`, то функция возрастает на `I`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a, b)`, то функция убывает на `I`. Условия экстремума
. Пусть функция `y=f(x)` определена на интервале `(ab)`, непрерывна в точке `x_0 in(a, b)` и дифференцируема на `(a,x_0) uu (x_0,b)`. Тогда 1) если `f^"(x)>0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)<0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального максимума функции `f`; 2) если `f^"(x)<0` на `(a;x_0)` и `f^"(x)>0` на `(x_0;b)`, то `x_0` - точка локального минимума функции `f`. Пример 5.1 Исследовать функцию `y=x^3-3x` на монотонность и экстремумы на области определения. Данная функция определена на `R` и дифференцируема в каждой точке (см. следствие теоремы 4.2), причём `y^"=3(x^2-1)`. Так как `y^"<0` при `x in(-1,1)`; `y^">0` при `x in(-oo,-1)uu(1,+oo)`, то функция возрастает на лучах `(-oo,-1]` и ``. По условию экстремума `x=-1` - точка локального максимума, а `x=1` - точка локального минимума. Так как `y^"=0` только в точках `x=1` и `x=-1`, то по теореме Ферма других точек экстремума у функции нет. Рассмотрим важный класс задач, в которых используется понятие производной - задачи нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Пример 5.2 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-3x` на отрезке: а) `[-2;0]`; б) ``. а) Из примера 5.1 следует, что функция возрастает на `(-oo,-1]` и убывает на `[-1,1]`. Так что `y(-1)>=y(x)` при всех `x in[-2;0]` и `y_"наиб"=y(-1)=2` - наибольшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. Чтобы найти наименьшее значение, нужно сравнить значения функции на концах отрезка. Поскольку `y(-2)=-2`, а `y(0)=0`, то `y_"наим"=-2` - наименьшее значение функции на отрезке `[-2;0]`. б) Так как на луче ``, поэтому `y_"наим"=y(1)=-2`, `y_"наиб"=y(3)=18`.
Замечание Отметим, что непрерывная на отрезке функция всегда имеет наибольшее и наименьшее значение. Пример 5.3 Найти наибольшее и наименьшее значение функции `y=x^3-12|x+1|` на отрезке `[-4;3]`. Отметим, что функция непрерывна на всей числовой прямой. Обозначим `f_1(x)=x^3+12(x+1)`, `f_2(x)=x^3-12(x+1)`. Тогда `y=f_1(x)` при `-4<=x<=-1` и `y=f_2(x)` при `-1<=x<=3`. Находим `f_1^"(x)=3x^2+12`, `f_2^"(x)=3x^2-12`. Уравнение `f_1^"(x)=0` не имеет действительных корней, а уравнение `f_2^"(x)=0` имеет два действительных корня `x_1=-2`, `x_2=2`, из которых интервалу `(-1;3)` принадлежит только точка `x_2`. В точке `x=-1` функция определена, но не имеет производной (можно, например, провести рассуждения, аналогичные рассуждениям примера 4.2). Итак, имеется две критические точки: `x=-1` и `x=2`. Производная `y^"(x)=f_1^"(x)>0` на `(-4;-1)`, `y^"(x)=f_2^"(x)<0` на `(-1;2)` и `y^"(x)=f_2^"(x)>0` на `(2;3)`. Запишем все исследования в таблице: `y_"наиб"=-1`; `y_"наим"=-100`.
Определение и формулировки основных теорем для функций, непрерывных на отрезке. Сюда входят: первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции; вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции; теорема Больцано – Коши о промежуточном значении. См. также:
Непрерывность функции в точке - свойства и теоремы
Определение функции, непрерывной на отрезке
Определение достижимости максимума (минимума)
Определение достижимости верхней (нижней) грани
Легко заметить, что эти определения эквивалентны. Если при ,
Различие между максимумом (минимумом) и верхней (нижней) гранью в том, что максимум (минимум) принадлежит множеству (в данном случае множеству значений функции), а верхняя (нижняя) грань может не принадлежать этому множеству. Пусть, например, на открытом интервале задана функция .
На этом интервале функция имеет верхнюю и нижнюю грани: Любое множество, в котором определены операции сравнения, имеет верхнюю и нижнюю грани. Эта теорема означает, что существуют такие точки и ,
принадлежащие отрезку :
,
значения функции в которых равны, соответственно, нижней и верхней граням: Использованная литература: Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е.). Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения. Свойства функций, непрерывных на отрезке: функция непрерывность точка отрезок Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если - точка разрыва функции, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно: 1) Функция определена в окрестности точки, но не определена в самой точке. Так функция, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке, так как не определена в этой точке. 2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, но они не равны между собой: . Например, функция из примера 2 б) определена в точке и ее окрестности, но, так как, а. 3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы и, они равны между собой, но не равны значению функции в точке: . Например, функция. Здесь - точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы и, равные между собой, но, т. е. . Точки разрыва функции классифицируются следующим образом. Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, но они не равны между собой: . Величина называется при этом скачком функции в точке. Определение 6 . Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если в этой точке существуют конечные пределы и, они равны между собой: , но сама функция не определена в точке, или определена, но. Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (или) не существует или равен бесконечности. Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) б) Решение. а) Функция определена и непрерывна на интервалах, и, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки и. Найдем односторонние пределы функции в точке: Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции: Для точки находим. Определение
. Если функция f
(x
) определена на отрезке [a, b
], непрерывна в каждой точке интервала (a, b
), в точке a
непрерывна справа, в точке b
непрерывна слева, то говорят, что функция f
(x
) непрерывна на отрезке
[a, b
]. Другими словами, функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], если выполнены три условия: 1) "x
0 Î(a, b
): f
(x
) = f
(x
0); 2) f
(x
) = f
(a
); 3) f
(x
) = f
(b
). Для функций, непрерывных на отрезке, рассмотрим некоторые свойства, которые сформулируем в виде следующих теорем, не проводя доказательств. Теорема 1
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего и своего наибольшего значения. Эта теорема утверждает (рис. 1.15), что на отрезке [a, b
] найдется такая точка x
1 , что f
(x
1) £ f
(x
) для любых x
из [a, b
] и что найдется точка x
2 (x
2 Î[a, b
]) такая, что "x
Î[a, b
] (f
(x
2) ³ f
(x
)). Значение f
(x
1) является наибольшим для данной функции на [a, b
], а f
(x
2) – наименьшим. Обозначим: f
(x
1) = M
, f
(x
2) = m
. Так как для f
(x
) выполняется неравенство: "x
Î[a, b
] m
£ f
(x
) £ M
, то получаем следующее следствие из теоремы 1. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Теорема 2
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a,b
] и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], в которой функция обращается в 0, т.е. $x
0 Î (a, b
) (f
(x
0) = 0). Эта теорема утверждает, что график функции y = f
(x
), непрерывной на отрезке [a, b
], пересекает ось Ox
хотя бы один раз, если значения f
(a
) и f
(b
) имеют противоположные знаки. Так, (рис. 1.16) f
(a
) > 0, f
(b
) < 0 и функция f
(x
) обращается в 0 в точках x
1 , x
2 , x
3 . Теорема 3
. Пусть функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], f
(a
) = A
, f
(b
) = B
и A
¹ B
. (рис. 1.17). Тогда для любого числа C
, заключенного между числами A
и B
, найдется такая внутренняя точка x
0 отрезка [a, b
], что f
(x
0) = C
. Следствие
. Если функция f
(x
) непрерывна на отрезке [a, b
], m
– наименьшее значение f
(x
), M
– наибольшее значение функции f
(x
) на отрезке [a, b
], то функция принимает (хотя бы один раз) любое значение m
, заключенное между m
и M
, а потому отрезок [m, M
] является множеством всех значений функции f
(x
) на отрезке [a, b
]. Заметим, что если функция непрерывна на интервале (a, b
) или имеет на отрезке [a, b
] точки разрыва, то теоремы 1, 2, 3 для такой функции перестают быть верными. В заключение рассмотрим теорему о существовании обратной функции. Теорема 4
. Пусть f
(x
) непрерывна на промежутке X
, возрастает (или убывает) на X
и имеет множеством значений промежуток Y
. Тогда для функции y = f
(x
) существует обратная функция x
= j
(y
), определенная на промежутке Y
, непрерывная и возрастающая (или убывающая) на Y
с множеством значений X
. Замечание
. Пусть функция x
= j
(y
) является обратной для функции f
(x
). Так как обычно аргумент обозначают через x
, а функцию через y
, то запишем обратную функцию в виде y =
j
(x
). Пример 1
. Функция y = x
2 (рис. 1.8, а) на множестве X
= , если она непрерывна на интервале (a , b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b . Функция
называется
непрерывной на отрезке
, если она является непрерывной в интервале
, непрерывной справа в точке
, то есть
и непрерывной слева в точке
, то есть
.
Замечание.
Функция, непрерывная на отрезке [ a , b ] может быть разрывной в точках a и b (рис. 1) Множество функций, непрерывных на отрезке [ a , b ] обозначается символом C [ a , b ]. Основные теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
Теорема 1
( об ограниченности непрерывной функции ).
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C > 0, что "
x О
[ a , b ] выполняется неравенство | f (x)| ≤ C .
Наибольшее значение M обозначается символом max x О
[ a , b ]
f (x), а наименьшее значение m — символом min x О
[ a , b ]
f (x).
Определения и теоремы
Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева в точках a
и b
,
соответственно.Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции
Если функция непрерывна на отрезке ,
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство
Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
для всех .
Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве ,
если существует такой аргумент ,
для которого
.
,
то .
Если ,
то .
.
Но максимума и минимума не имеет. Действительно, для любого всегда можно указать такие числа и ,
принадлежащие ,
значения функции от которых будут больше и меньше :
.
На отрезке функция имеет как верхнюю и нижнюю грани, так максимум и минимум:
.
Также верхняя (нижняя) грань может равняться плюс (минус) бесконечности: ,
а максимум (минимум) не может быть бесконечным числом.Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции
Непрерывная на отрезке функция достигает на нем своих верхней и нижней граней или, что тоже самое, достигает на отрезке своего максимума и минимума.
Доказательство
.
Поскольку, исходя из определений верхней и нижней граней:
при ,
при ,
и поскольку ,
то и являются минимумом и максимумом функции на отрезке .
Вторая теорема Больцано - Коши о промежуточном значении
Пусть функция непрерывна на отрезке .
И пусть C
есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка: и .
Тогда существует точка ,
для которой
.
непрерывна на отрезке .
И пусть .
Тогда функция принимает на отрезке все значения из и только эти значения:
при .
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.Точки разрыва функции и их классификация
Напомним, что под промежутком понимается отрезок либо интервал, либо полуинтервал конечный или бесконечный.
Теорема 2
(Вейерштрасс). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m , т.е. существуют точки α , β О
[ a , b ] такие, что m = f (α) ≤ f (x) ≤ f (β) = M для всех x О
[ a , b ] (рис.2).
Теорема 3
(о существовании нуля). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ] и на концах отрезка принимает ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a , b) найдется по крайней мере одна точка ξ в которой f (ξ) = 0.
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что график функции, удовлетворяющей условиям теоремы, обязательно пересечет ось OX
(рис.3).
называемый методом бисекции (дихотомии) , или методом половинного деления.
f (x) = 0,
(1)
Теорема 4
(Больцано–Коши). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a , b ], то она принимает на (a , b) все промежуточные значения между f (a) и f (b).
Cуществование непрерывной обратной функции
Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [ a , b ]. Тогда на отрезке [ α , β ] (α = f (a), β = f (b)) cуществует обратная функция x = g (y), также строго монотонная и непрерывная на отрезке (α , β).