Dom → Književnost Derivacija potencijske funkcije (potencije i korijeni). Derivacija potencije (potencije i korijeni) Derivacija eksponencijalne funkcije

Derivacija potencijske funkcije (potencije i korijeni). Derivacija potencije (potencije i korijeni) Derivacija eksponencijalne funkcije

Složene izvedenice. Logaritamska derivacija.
Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Nastavljamo poboljšavati našu tehniku razlikovanja. U ovoj lekciji ćemo učvrstiti pređeno gradivo, pogledati složenije izvode, a također se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebice s logaritamskim izvodom.

Oni čitatelji koji imaju nisku razinu pripreme trebali bi se obratiti članku Kako pronaći izvedenicu? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivacija složene funkcije, razumjeti i riješiti svi primjere koje sam naveo. Ova je lekcija logično treća, a nakon što je savladate pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzeti stav “Gdje drugdje? Dosta je!”, budući da su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivacija složene funkcije Pogledali smo brojne primjere s detaljnim komentarima. Tijekom proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, morat ćete vrlo često razlikovati, a nije uvijek zgodno (i nije uvijek potrebno) opisivati primjere u detalje. Stoga ćemo usmeno vježbati pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferenciranja složenih funkcija :

Kod budućeg proučavanja drugih matanskih tema najčešće se ne zahtijeva takav detaljan zapis; pretpostavlja se da učenik zna pronaći takve izvedenice na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutro zazvonio telefon i ugodan glas upitao: "Kolika je derivacija tangensa dva X?" Ovo bi trebao biti popraćen gotovo trenutnim i pristojnim odgovorom: .

Prvi primjer bit će odmah namijenjen za samostalno rješavanje.

Primjer 1

Pronađi usmeno, jednom radnjom, sljedeće izvedenice, npr.: . Za dovršenje zadatka trebate samo koristiti tablica izvodnica elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem ponovno čitanje lekcije Derivacija složene funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složene izvedenice

Nakon preliminarne topničke pripreme, primjeri s 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje strašni. Sljedeća dva primjera mogu se nekome činiti kompliciranima, ali ako ih razumijete (netko će patiti), onda će vam se gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu činiti kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već navedeno, pri pronalaženju izvoda složene funkcije, prije svega, potrebno je Pravo RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje nedoumice, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost "x", na primjer, i pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) zamijeniti tu vrijednost u "užasan izraz".

1) Prvo moramo izračunati izraz, što znači da je zbroj najdublje uloženje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim kubirajte kosinus:

5) U petom koraku razlika je:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema najunutarnjoj. Mi odlučujemo:

Čini se da nema grešaka...

(1) Izvadite kvadratni korijen.

(2) Derivaciju razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivacija trojke je nula. U drugom članu uzimamo izvod stupnja (kocke).

(4) Uzmite derivaciju kosinusa.

(5) Uzmite derivaciju logaritma.

(6) I na kraju, uzimamo izvod najdublje uklopljenosti.

Možda se čini preteškim, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, zbirku Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analizirane izvedenice. Primijetio sam da sličnu stvar vole dati na ispitu kako bi provjerili razumije li student kako pronaći izvod složene funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer trebate riješiti sami.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da prijeđemo na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje umnožak ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju umnoška tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo gledamo, je li moguće umnožak tri funkcije pretvoriti u umnožak dviju funkcija? Na primjer, ako imamo dva polinoma u produktu, tada bismo mogli otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra sve su funkcije različite: stupanj, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima potrebno je sekvencijalno primijeniti pravilo razlikovanja proizvoda dvaput

Trik je u tome što s "y" označavamo umnožak dviju funkcija: , a s "ve" označavamo logaritam: . Zašto se to može učiniti? je li moguće – ovo nije produkt dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplicirano:

Sada ostaje primijeniti pravilo drugi put u zagradu:

Također možete biti upleteni i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor točno u ovom obliku - lakše ćete ga provjeriti.

Razmatrani primjer može se riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno jednaka.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje; u uzorku je riješeno prvom metodom.

Pogledajmo slične primjere s razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Postoji nekoliko načina na koje možete doći ovdje:

Ili ovako:

No rješenje će biti kompaktnije napisano ako prvo upotrijebimo pravilo diferenciranja kvocijenta , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako ostane takav, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli može li se odgovor pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i riješimo se trokatnice frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od pogreške ne pri pronalaženju derivata, već tijekom banalnih školskih transformacija. S druge strane, učitelji često odbijaju zadatak i traže da se izvedenica “dosjeti pameti”.

Jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo svladavati metode pronalaženja derivata, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada je "strašni" logaritam predložen za diferencijaciju

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah baci u malodušnost - morate uzeti neugodnu izvedenicu iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zato prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, najprije se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule izravno tamo. Ako nemate bilježnicu, prepišite ih na komad papira, budući da će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo "raščlaniti ga".

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori su na kraju lekcije.

Logaritamska derivacija

Ako je derivat logaritama tako slatka glazba, onda se postavlja pitanje: je li moguće u nekim slučajevima umjetno organizirati logaritam? Limenka! Pa čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. Što uraditi? Možete redom primijeniti pravilo diferenciranja kvocijenta, a zatim pravilo diferenciranja umnoška. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete golemu trokatnicu, s kojom uopće ne želite imati posla.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamska derivacija. Logaritmi se mogu organizirati umjetno tako da se "objese" s obje strane:

Bilješka : jer funkcija može imati negativne vrijednosti, onda, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, prihvatljiv je i trenutni dizajn, koji je prema zadanim postavkama uzet u obzir kompleks značenja. Ali ako u svoj strogosti, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu da.

Sada morate "rastaviti" logaritam desne strane što je više moguće (formule pred vašim očima?). Opisat ću ovaj proces vrlo detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod prajmom:

Izvedenica desne strane je prilično jednostavna, neću je komentirati, jer ako čitate ovaj tekst, trebali biste se s njom sigurno snaći.

Što je s lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, postoji li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - SAM JE FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivacija implicitno specificirane funkcije). Stoga je logaritam vanjska funkcija, a "y" je unutarnja funkcija. I koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao čarolijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tijekom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ogledni dizajn primjera ove vrste nalazi se na kraju lekcije.

Pomoću logaritamske derivacije bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su funkcije tamo jednostavnije, a možda uporaba logaritamske derivacije nije baš opravdana.

Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Power-eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stupanj i baza ovise o "x". Klasičan primjer koji će vam se dati u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći derivaciju potencne eksponencijalne funkcije?

Potrebno je koristiti tehniku o kojoj smo upravo govorili - logaritamsku derivaciju. Objesimo logaritme s obje strane:

U pravilu se na desnoj strani stupanj vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo produkt dviju funkcija, koje ćemo razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu, prilažemo oba dijela ispod crte:

Daljnje radnje su jednostavne:

Konačno:

Ako neka pretvorba nije posve jasna, molimo ponovno pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima potencna eksponencijalna funkcija uvijek će biti kompliciranija od razmatranog primjera predavanja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamsku derivaciju.

Na desnoj strani imamo konstantu i umnožak dva faktora - “x” i “logaritam logaritma x” (još jedan logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Kod diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je konstantu odmah maknuti iz predznaka izvoda da ne smeta; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Derivacija formule za izvod potencije (x na potenciju a). Razmatraju se derivacije iz korijena x. Formula za derivaciju funkcije višeg reda snage. Primjeri izračuna derivacija.

Sadržaj

Vidi također: Funkcija potencije i korijeni, formule i graf
Grafikoni funkcije snage

Osnovne formule

Derivacija x na potenciju a jednaka je a puta x na potenciju minus jedan:
(1) .

Derivacija n-tog korijena iz x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod potencije

Slučaj x > 0

Promotrimo funkciju snage varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljni realni broj. Razmotrimo prvo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo svojstva funkcije snage i transformiramo je u sljedeći oblik:
.

Sada nalazimo izvod koristeći:
;
.
ovdje .

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za derivaciju korijena stupnja n iz x na stupanj m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedeće forme:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, transformiramo korijen u funkciju snage:
.
Usporedbom s formulom (3) vidimo da
.
Zatim
.

Pomoću formule (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe pamtiti formulu (2). Puno je prikladnije prvo transformirati korijene u funkcije potencije, a zatim pronaći njihove derivacije pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je funkcija snage definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo izvod funkcije (3) u x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo se definicijom derivata:
.

Zamijenimo x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod derivacijom mislimo na desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga je jasno da za , .
U , .
U , .
Ovaj se rezultat također dobiva iz formule (1):
(1) .
Stoga formula (1) vrijedi i za x = 0 .

Slučaj x< 0

Ponovno razmotrimo funkciju (3):
(3) .
Za određene vrijednosti konstante a definirane su i negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može prikazati kao nesvodivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi koji nemaju zajednički djelitelj.

Ako je n neparan, tada je funkcija snage također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, kada je n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen iz x:
.
Također je definirana za negativne vrijednosti varijable x.

Nađimo derivaciju funkcije snage (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavimo x u sljedećem obliku:
.
zatim,
.
Derivaciju nalazimo stavljanjem konstante izvan predznaka derivacije i primjenom pravila za razlikovanje složene funkcije:

.
ovdje .
.
Ali
.
Zatim
.
Od tad
(1) .

Odnosno, formula (1) vrijedi i za:

Izvodnice višeg reda
(3) .
Nađimo sada derivacije višeg reda funkcije potencije
.

Već smo pronašli derivat prvog reda:
.
Uzimajući konstantu a izvan predznaka izvoda, nalazimo izvod drugog reda:
;

.

Slično, nalazimo izvedenice trećeg i četvrtog reda: Iz ovoga je jasno da izvod proizvoljnog n-tog reda
.

ima sljedeći oblik: primijeti da ako je a prirodan broj
.
, tada je n-ti izvod konstantan:
,
Tada su sve sljedeće derivacije jednake nuli:

u .

Primjeri izračuna derivacija

Primjer
.

Pronađite izvod funkcije:
;
.
Pretvorimo korijene u potencije:
.

Tada izvorna funkcija ima oblik:
;
.
Nalaženje derivacija potencija:
.

Derivacija konstante je nula:

Najprije ću vam reći što su uopće izvedenice i kako ih brojati, ali ne sofisticiranim akademskim jezikom, već onako kako ja to razumijem i kako to objašnjavam svojim studentima. Drugo, razmotrit ćemo najjednostavnije pravilo za rješavanje zadataka u kojima ćemo tražiti derivacije zbroja, derivacije razlike i derivacije potencije.

Razmotrit ćemo složenije kombinirane primjere iz kojih ćete, posebice, naučiti da se slični problemi koji uključuju korijene, pa čak i razlomke, mogu riješiti pomoću formule za derivaciju funkcije potencije. Uz to će, naravno, biti i mnogo problema i primjera rješenja različitih razina složenosti.

Općenito, u početku sam namjeravao snimiti kratki 5-minutni video, ali možete vidjeti kako je ispalo. Dakle, dosta teksta - bacimo se na posao.

Što je derivat?

Dakle, krenimo izdaleka. Prije mnogo godina, kada je drveće bilo zelenije i život zabavniji, matematičari su razmišljali o ovome: razmotrite jednostavnu funkciju definiranu svojim grafom, nazovite je $y=f\left(x \right)$. Naravno, graf ne postoji sam za sebe, pa je potrebno nacrtati $x$ osi kao i $y$ os. Odaberimo sada bilo koju točku na ovom grafikonu, apsolutno bilo koju. Nazovimo apscisu $((x)_(1))$, ordinata će, kao što pretpostavljate, biti $f\lijevo(((x)_(1)) \desno)$.

Pogledajmo drugu točku na istom grafikonu. Nije bitno koji, glavno je da se razlikuje od originala. Ona, opet, ima apscisu, nazovimo je $((x)_(2))$, a također i ordinatu - $f\lijevo(((x)_(2)) \desno)$.

Dakle, imamo dvije točke: one imaju različite apscise i, prema tome, različite vrijednosti funkcije, iako ovo drugo nije nužno. Ali ono što je stvarno važno je da znamo iz tečaja planimetrije: kroz dvije točke možete nacrtati ravnu liniju i, štoviše, samo jednu. Pa izvedimo to.

Sada povucimo ravnu liniju kroz prvu od njih, paralelnu s osi apscise. Dobivamo pravokutni trokut. Nazovimo ga $ABC$, pravi kut $C$. Ovaj trokut ima jedno vrlo zanimljivo svojstvo: činjenica je da je kut $\alpha $ zapravo jednak kutu pod kojim se pravac $AB$ siječe s nastavkom osi apscise. Prosudite sami:

pravac $AC$ konstrukcijski je paralelan s osi $Ox$,
linija $AB$ siječe $AC$ pod $\alpha $,
stoga $AB$ siječe $Ox$ pod istim $\alpha $.

Što možemo reći o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ništa konkretno, osim da je u trokutu $ABC$ omjer kraka $BC$ i kraka $AC$ jednak tangensu upravo tog kuta. Pa zapišimo:

Naravno, $AC$ se u ovom slučaju lako izračunava:

Isto tako za $BC$:

Drugim riječima, možemo napisati sljedeće:

\[\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alpha\!\!\tekst( )=\frac(f\lijevo(((x)_(2)) \desno)-f\lijevo( ((x)_(1)) \desno))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Sada kada smo sve to riješili, vratimo se našem grafikonu i pogledajmo novu točku $B$. Idemo izbrisati stare vrijednosti i uzeti $B$ negdje bliže $((x)_(1))$. Označimo opet njegovu apscisu s $((x)_(2))$, a ordinatu s $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Pogledajmo ponovno naš mali trokut $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ unutar njega. Sasvim je očito da će to biti sasvim drugi kut, tangenta će također biti drugačija jer su se duljine odsječaka $AC$ i $BC$ značajno promijenile, ali se formula za tangens kuta nije nimalo promijenila - ovo je još uvijek odnos između promjene funkcije i promjene argumenta.

Konačno, nastavljamo pomicati $B$ bliže izvornoj točki $A$, kao rezultat toga trokut će postati još manji, a ravna crta koja sadrži segment $AB$ sve će više i više izgledati kao tangenta na grafikonu funkcija.

Kao rezultat toga, ako nastavimo približavati točke jedna drugoj, tj. smanjimo udaljenost na nulu, tada će se ravna linija $AB$ doista pretvoriti u tangentu na grafikon u danoj točki, a $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ transformirat će se iz elementa pravilnog trokuta u kut između tangente na graf i pozitivnog smjera $Ox$ osi.

I ovdje glatko prelazimo na definiciju $f$, naime, derivacija funkcije u točki $((x)_(1))$ je tangens kuta $\alpha $ između tangente na graf u točki $((x)_( 1))$ i pozitivnom smjeru osi $Ox$:

\[(f)"\lijevo(((x)_(1)) \desno)=\imeoperatora(tg)\tekst( )\!\!\alfa\!\!\tekst( )\]

Vraćajući se našem grafu, treba primijetiti da se bilo koja točka na grafu može odabrati kao $((x)_(1))$. Na primjer, s istim uspjehom mogli bismo ukloniti crtu na točki prikazanoj na slici.

Nazovimo kut između tangente i pozitivnog smjera osi $\beta$. Prema tome, $f$ u $((x)_(2))$ bit će jednako tangensu ovog kuta $\beta $.

\[(f)"\lijevo(((x)_(2)) \desno)=tg\tekst( )\!\!\beta\!\!\tekst( )\]

Svaka točka na grafu će imati svoju tangentu, a time i svoju vrijednost funkcije. U svakom od ovih slučajeva, osim točke u kojoj tražimo derivaciju razlike ili zbroja, odnosno derivaciju potencne funkcije, potrebno je uzeti još jednu točku koja se nalazi na određenoj udaljenosti od nje, a zatim usmjeriti ovaj pokažite na izvorni i, naravno, saznajte kako će u procesu Takvo kretanje promijeniti tangens kuta nagiba.

Derivacija funkcije potencije

Nažalost, takva definicija nam nikako ne odgovara. Sve ove formule, slike, kutovi ne daju nam ni najmanju ideju kako izračunati stvarnu derivaciju u stvarnim problemima. Stoga, odstupimo malo od formalne definicije i razmotrimo učinkovitije formule i tehnike s kojima već možete riješiti stvarne probleme.

Počnimo s najjednostavnijim konstrukcijama, naime s funkcijama oblika $y=((x)^(n))$, tj. funkcije snage. U ovom slučaju možemo napisati sljedeće: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Drugim riječima, stupanj koji je bio u eksponentu prikazan je u prednjem množitelju, a sam eksponent se umanjuje za jedinicu Na primjer:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Evo još jedne opcije:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\lijevo(x \desno))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Koristeći ova jednostavna pravila, pokušajmo ukloniti dodir sljedećih primjera:

Tako dobivamo:

\[((\lijevo(((x)^(6)) \desno))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Sada riješimo drugi izraz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Naravno, radilo se o vrlo jednostavnim zadacima. Međutim, pravi problemi su složeniji i nisu ograničeni samo na stupnjeve funkcije.

Dakle, pravilo br. 1 - ako je funkcija predstavljena u obliku druge dvije, onda je derivacija ove sume jednaka sumi derivacija:

\[((\lijevo(f+g \desno))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Slično, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici derivacija:

\[((\lijevo(f-g \desno))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\lijevo(((x)^(2))+x \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\ prost ))+((\lijevo(x \desno))^(\prim ))=2x+1\]

Osim toga, postoji još jedno važno pravilo: ako nekom $f$ prethodi konstanta $c$, kojom se ta funkcija množi, tada se $f$ cijele ove konstrukcije izračunava na sljedeći način:

\[((\lijevo(c\cdot f \desno))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\lijevo(3((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\ prosti ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Na kraju, još jedno vrlo važno pravilo: u zadacima često postoji zaseban pojam koji uopće ne sadrži $x$. Na primjer, to možemo primijetiti u našim izrazima danas. Derivacija konstante, odnosno broja koji ni na koji način ne ovisi o $x$, uvijek je jednaka nuli i uopće nije važno čemu je jednaka konstanta $c$:

\[((\lijevo(c \desno))^(\prime ))=0\]

Primjer rješenja:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Ponovno ključne točke:

Derivacija zbroja dviju funkcija uvijek je jednaka zbroju derivacija: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Iz sličnih razloga, derivacija razlike dviju funkcija jednaka je razlici dviju derivacija: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Ako funkcija ima konstantan faktor, tada se ta konstanta može uzeti kao znak izvedenice: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Ako je cijela funkcija konstanta, tada je njezin izvod uvijek nula: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Pogledajmo kako sve to funkcionira na stvarnim primjerima. Tako:

Zapisujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\lijevo (((x)^(5)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

U ovom primjeru vidimo i derivaciju zbroja i derivaciju razlike. Ukupno, izvod je jednak $5((x)^(4))-6x$.

Prijeđimo na drugu funkciju:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left((((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ovdje smo pronašli odgovor.

Prijeđimo na treću funkciju - ona je ozbiljnija:

\[\begin(align)& ((\lijevo(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \desno)) ^(\prime ))=((\lijevo(2((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(3((x)^(2)) \desno ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))-3((\lijevo(((x)^(2)) \desno))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor.

Prijeđimo na posljednji izraz - najsloženiji i najduži:

Dakle, smatramo:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\lijevo(6((x)^(7)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(14((x)^(3)) \desno))^(\prime )) +((\lijevo(4x \desno))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ali rješenje tu nije kraj, jer se od nas traži ne samo da uklonimo potez, već da izračunamo njegovu vrijednost u određenoj točki, pa zamijenimo −1 umjesto $x$ u izrazu:

\[(y)"\lijevo(-1 \desno)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Idemo dalje i prijeđimo na još složenije i zanimljivije primjere. Činjenica je da formula za rješavanje derivacije potencije $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ima još širi opseg nego što se obično vjeruje. Uz njegovu pomoć možete rješavati primjere s razlomcima, korijenima itd. To ćemo sada učiniti.

Za početak, zapišimo još jednom formulu koja će nam pomoći da nađemo derivaciju funkcije potencije:

A sada pažnja: do sada smo kao $n$ smatrali samo prirodne brojeve, ali ništa nas ne sprječava da razmatramo i razlomke, pa čak i negativne brojeve. Na primjer, možemo napisati sljedeće:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\ prosti ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(2))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Ništa komplicirano, pa da vidimo kako će nam ova formula pomoći pri rješavanju složenijih problema. Dakle, primjer:

Zapišimo rješenje:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))+((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime )) \\& ((\ lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^( \prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \desno))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(4))) \desno))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Vratimo se našem primjeru i napišimo:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ovo je tako teška odluka.

Prijeđimo na drugi primjer - postoje samo dva pojma, ali svaki od njih sadrži i klasični stupanj i korijene.

Sada ćemo naučiti kako pronaći derivaciju funkcije snage, koja osim toga sadrži korijen:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\lijevo(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))= \\& =(( \lijevo(((x)^(3+\frac(2)(3))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(11)(3) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\lijevo(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba člana su izračunata, ostaje samo da zapišemo konačni odgovor:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Našli smo odgovor.

Derivacija razlomka preko potencije

No mogućnosti formule za rješavanje derivacije potencne funkcije tu ne prestaju. Činjenica je da uz njegovu pomoć možete izračunati ne samo primjere s korijenima, već i s razlomcima. Upravo je to rijetka prilika koja uvelike pojednostavljuje rješavanje ovakvih primjera, ali je često zanemaruju ne samo učenici, već i nastavnici.

Dakle, sada ćemo pokušati kombinirati dvije formule odjednom. S jedne strane, klasična derivacija funkcije snage

\[((\lijevo(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

S druge strane, znamo da se izraz oblika $\frac(1)(((x)^(n)))$ može predstaviti kao $((x)^(-n))$. Stoga,

\[\lijevo(\frac(1)(((x)^(n))) \desno)"=((\lijevo(((x)^(-n)) \desno))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\lijevo(\frac(1)(x) \desno))^(\prime ))=\lijevo(((x)^(-1)) \desno)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Dakle, derivacije jednostavnih razlomaka, gdje je brojnik konstanta, a nazivnik stupanj, također se izračunavaju pomoću klasične formule. Pogledajmo kako to funkcionira u praksi.

Dakle, prva funkcija:

\[((\lijevo(\frac(1)(((x)^(2))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(-2)) \ desno))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Prvi primjer je riješen, idemo na drugi:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))= \ \& =((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\lijevo(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\lijevo(\frac(1)(((x)^(4))) \desno))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\lijevo(((x)^(-4)) \desno))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \lijevo(-4 \desno) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\lijevo( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lijevo(3((x)^(4)) \desno))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ završi (poravnaj)\]...

Sada skupljamo sve te pojmove u jednu formulu:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Dobili smo odgovor.

Međutim, prije nego što krenem dalje, želio bih vam skrenuti pozornost na oblik pisanja samih izvornih izraza: u prvom izrazu smo napisali $f\left(x \right)=...$, u drugom: $y =...$ Mnogi se učenici izgube kada vide različite oblike snimanja. Koja je razlika između $f\lijevo(x \desno)$ i $y$? Ništa zapravo. To su samo različiti unosi s istim značenjem. Samo što kada kažemo $f\lijevo(x \desno)$, prije svega govorimo o funkciji, a kada govorimo o $y$, najčešće mislimo na graf funkcije. Inače, radi se o istoj stvari, tj. izvedenica se u oba slučaja smatra istom.

Složeni problemi s izvedenicama

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko složenih kombiniranih problema koji koriste sve što smo danas razmotrili. Sadrže korijene, razlomke i zbrojeve. Međutim, ovi će primjeri biti složeni samo u današnjem video vodiču, jer će vas doista složene derivacijske funkcije čekati naprijed.

Dakle, završni dio današnje video lekcije, koji se sastoji od dva kombinirana zadatka. Počnimo s prvim od njih:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\lijevo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))-((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\lijevo(\frac(1)(((x)^(3))) \desno))^(\prime ))=((\ lijevo(((x)^(-3)) \desno))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Derivacija funkcije jednaka je:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Prvi primjer je riješen. Razmotrimo drugi problem:

U drugom primjeru postupamo slično:

\[((\lijevo(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Izračunajmo svaki član zasebno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\lijevo(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ lijevo(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \desno))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\lijevo(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\lijevo(((x)^(-1\frac(3)(4))) \desno))^( \prime ))= \\& =4\cdot \lijevo(-1\frac(3)(4) \desno)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \lijevo(-\frac(7)(4) \desno)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Svi termini su izračunati. Sada se vraćamo na izvornu formulu i zbrajamo sva tri člana. Dobijamo da će konačni odgovor biti ovakav:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to je sve. Ovo je bila naša prva lekcija. U sljedećim lekcijama ćemo pogledati složenije konstrukcije, a također ćemo saznati zašto su derivati uopće potrebni.

Predstavljamo sažetak tablice za praktičnost i jasnoću pri proučavanju teme.

Konstantnoy = C

Funkcija potencije y = x p

(x p) " = p x p - 1

Eksponencijalna funkcijay = a x

(a x) " = a x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = e x

(e x) " = e x

Logaritamska funkcija

(log a x) " = 1 x ln a

Konkretno, kadaa = eimamo y = logx

(ln x) " = 1 x

Trigonometrijske funkcije

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Inverzne trigonometrijske funkcije

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hiperboličke funkcije

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Analizirajmo kako su dobivene formule navedene tablice ili, drugim riječima, dokazat ćemo izvođenje formula izvoda za svaki tip funkcije.

Derivacija konstante

Dokazi 1

Da bismo izveli ovu formulu, uzimamo kao osnovu definiciju derivacije funkcije u točki. Koristimo x 0 = x, gdje je x uzima vrijednost bilo kojeg realnog broja, ili, drugim riječima, x je bilo koji broj iz domene funkcije f (x) = C. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kao ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Imajte na umu da izraz 0 ∆ x pada ispod znaka granice. To nije nesigurnost "nula podijeljena s nulom", budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.

Dakle, derivacija konstantne funkcije f (x) = C jednaka je nuli kroz cijelu domenu definicije.

Primjer 1

Date su konstantne funkcije:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Riješenje

Opišimo zadane uvjete. U prvoj funkciji vidimo izvod prirodnog broja 3. U sljedećem primjeru trebate uzeti derivat od A, Gdje A- bilo koji realni broj. Treći primjer daje nam izvod iracionalnog broja 4. 13 7 22, četvrti je izvod nule (nula je cijeli broj). Konačno, u petom slučaju imamo derivaciju racionalnog razlomka - 8 7.

Odgovor: derivacije zadanih funkcija su nula za bilo koju realnu x(po cijelom području definiranja)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Derivacija funkcije potencije

Prijeđimo na funkciju potencije i formulu za njezinu derivaciju koja ima oblik: (x p) " = p x p - 1, gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Dokazi 2

Evo dokaza formule kada je eksponent prirodan broj: p = 1, 2, 3, …

Opet se oslanjamo na definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, koristimo Newtonovu binomnu formulu:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Tako:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (. C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = C p 1 · x p - . 1 + 0 + .

Dakle, dokazali smo formulu za izvod potencije kada je eksponent prirodni broj.

Dokazi 3

Da pruži dokaz za slučaj kada p- bilo koji realni broj različit od nule, koristimo logaritamsku derivaciju (ovdje treba razumjeti razliku od derivacije logaritamske funkcije). Za potpunije razumijevanje, preporučljivo je proučiti derivaciju logaritamske funkcije i dalje razumjeti derivaciju implicitne funkcije i derivaciju složene funkcije.

Razmotrimo dva slučaja: kada x pozitivno i kada x negativan.

Dakle, x > 0. Tada je: x p > 0 . Logaritmirajmo jednakost y = x p na bazu e i primijenimo svojstvo logaritma:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

U ovoj fazi dobili smo implicitno specificiranu funkciju. Definirajmo njegovu derivaciju:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Sada razmatramo slučaj kada x - negativan broj.

Ako indikator str je paran broj, tada je funkcija snage definirana za x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Zatim x str< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Ako str je neparan broj, tada je funkcija snage definirana za x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Posljednji prijelaz moguć je zbog činjenice da ako str je onda neparan broj p - 1 ili paran broj ili nula (za p = 1), dakle, za negativno x jednakost (- x) p - 1 = x p - 1 je istinita.

Dakle, dokazali smo formulu za derivaciju funkcije potencije za bilo koji realni p.

Primjer 2

Zadane funkcije:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Odredi njihove derivacije.

Riješenje

Neke od zadanih funkcija transformiramo u tablični oblik y = x p , na temelju svojstava stupnja, a zatim koristimo formulu:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Derivacija eksponencijalne funkcije

Dokaz 4

Izvedimo formulu derivata koristeći definiciju kao osnovu:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Imamo neizvjesnost. Da ga proširimo, napišimo novu varijablu z = a ∆ x - 1 (z → 0 kao ∆ x → 0). U ovom slučaju je a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Za zadnji prijelaz korištena je formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Zamijenimo u izvornu granicu:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Sjetimo se druge izvanredne granice i tada ćemo dobiti formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Primjer 3

Date su eksponencijalne funkcije:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Potrebno je pronaći njihove izvedenice.

Riješenje

Koristimo formulu za derivaciju eksponencijalne funkcije i svojstva logaritma:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Derivacija logaritamske funkcije

Dokaz 5

Donosimo dokaz formule za derivaciju logaritamske funkcije za bilo koju x u domeni definicije i sve dopuštene vrijednosti baze a logaritma. Na temelju definicije derivata dobivamo:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Iz navedenog lanca jednakosti jasno je da su se transformacije temeljile na svojstvu logaritma. Jednakost lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e vrijedi prema drugoj izvanrednoj granici.

Primjer 4

Zadane su logaritamske funkcije:

f 1 (x) = log ln 3 x, f 2 (x) = ln x

Potrebno je izračunati njihove derivate.

Riješenje

Primijenimo izvedenu formulu:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Dakle, izvod prirodnog logaritma je jedan podijeljen s x.

Derivacije trigonometrijskih funkcija

Dokaz 6

Upotrijebimo neke trigonometrijske formule i prvu prekrasnu granicu za izvođenje formule za derivaciju trigonometrijske funkcije.

Prema definiciji derivacije funkcije sinusa dobivamo:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Formula za razliku sinusa omogućit će nam izvođenje sljedećih radnji:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Na kraju koristimo prvo divno ograničenje:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Dakle, izvod funkcije grijeh x htjeti cos x.

Također ćemo dokazati formulu za izvod kosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Oni. izvod funkcije cos x bit će – grijeh x.

Formule za derivacije tangensa i kotangensa izvodimo na temelju pravila diferenciranja:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Derivacije inverznih trigonometrijskih funkcija

Odjeljak o derivaciji inverznih funkcija daje iscrpne informacije o dokazu formula za derivacije arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkotangensa, stoga ovdje nećemo duplicirati materijal.

Derivacije hiperboličkih funkcija

Dokazi 7

Formule za derivacije hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa možemo izvesti pomoću pravila diferenciranja i formule za derivaciju eksponencijalne funkcije:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Eksponencijalna funkcija je funkcija koja ima oblik funkcije snage
y = u v ,
u kojoj su baza u i eksponent v neke funkcije varijable x:
u = u (x); v = v (x).
Ova se funkcija također naziva eksponencijalni ili .

Imajte na umu da se potencijska eksponencijalna funkcija može prikazati u eksponencijalnom obliku:
.
Stoga se i zove složena eksponencijalna funkcija.

Derivacija potencne eksponencijalne funkcije

Računanje pomoću logaritamske derivacije

Nađimo derivaciju eksponencijalne potencije
(2) ,
gdje su i funkcije varijable.
Da bismo to učinili, logaritmiramo jednadžbu (2), koristeći svojstvo logaritma:
.
Diferenciraj s obzirom na varijablu x:
(3) .
Prijavljujemo se pravila za razlikovanje složenih funkcija i radi:
;
.

Zamjenjujemo u (3):
.
Odavde
.

Dakle, pronašli smo derivaciju eksponencijalne funkcije snage:
(1) .
Ako je eksponent konstantan, onda je . Tada je derivacija jednaka derivaciji složene funkcije snage:
.
Ako je baza stupnja konstantna, tada . Tada je derivacija jednaka derivaciji kompleksne eksponencijalne funkcije:
.
Kada su i funkcije od x, tada je derivacija potencije-eksponencijalne funkcije jednaka zbroju derivacija kompleksne potencije i eksponencijalne funkcije.