Poissonův proces. Definice Poissonova proudění. Vlastnosti Jednoduchý Poissonův proces

Tento tok zaujímá ústřední místo mezi celou řadou toků, stejně jako náhodné proměnné se zákonem normálního rozdělení v aplikované teorii pravděpodobnosti. Tato situace se vysvětluje tím, že v teorii toků, stejně jako v teorii náhodných veličin, existuje limitní věta, podle kterého se součet velkého počtu nezávislých toků s libovolným distribučním zákonem blíží nejjednoduššímu toku s rostoucím počtem komponentních toků.

Stacionární jed(nejjednodušší) je tok, který má tři vlastnosti: obyčejnost,nedostatek následného účinku A stacionárnost.

Rozložení událostí v krátkém časovém intervalu

Podle definice je intenzita proudění limitní
, protože nejjednodušší tok je stacionární, pak pro to
.

Stacionarita toku a absence následných efektů eliminují závislost pravděpodobnosti výskytu událostí na intervalu
jak z umístění tohoto intervalu na časové ose, tak z událostí, které mu předcházely. Proto
.

Na jakoukoli dobu, kterou máme. Při snaze
všechny výrazy na pravé straně tohoto vzorce, s výjimkou prvního, lze zanedbat, protože vzhledem k běžnému toku událostí jsou tyto hodnoty ve srovnání s
:

.

S ohledem na výše uvedené transformujeme původní výraz pro intenzitu proudění:

.

Máme tedy rovnost
, tj. pravděpodobnost výskytu jedné události v krátkém časovém intervalu je úměrná tomuto intervalu s koeficientem .

To je zřejmé
. Proto,
, odkud máme
- pravděpodobnost, že v krátkém časovém intervalu nenastane žádná událost
.

Rozdělení událostí v Poissonově toku

Pojďme najít výraz
, Kde
- pravděpodobnost, že na intervalu
se stane Události. Tato událost nastane v jednom ze dvou vzájemně se vylučujících případů:

Podle věty o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí máme pravděpodobnost výskytu situace 1 nebo 2:

kde . Režie
, dostaneme
.

Definujme podobný vztah pro
. Takže událost v intervalu
nenastala ani jednou, je nutné a postačující, aby k ní došlo 0 krát v intervalu A 0 jednou - jednou
. Pravděpodobnost této události je stejná. Odkud se podobně dostaneme
.

Poissonův tok událostí je tedy popsán soustavou lineárních diferenciálních rovnic

,

s jasnými počátečními podmínkami.

Z první rovnice dostaneme
, z výchozích podmínek, které máme
, kde c = 1. Konečně
.

Tedy pro Poissonův tok pravděpodobnost
absence události v libovolném intervalu délky určeno exponenciální závislostí. K vyřešení úplné soustavy rovnic používáme Laplaceovu transformaci. My máme

kde
;
a dále
;
; ...
.

Vezmeme-li inverzní Laplaceovu transformaci pomocí tabulek, které získáme
, tj. Poissonovo rozdělení.

Nejjednodušší tok se tedy řídí Poissonovým distribučním zákonem, pro který jsou matematické očekávání a rozptyl stejné.
.

Rozdělení intervalů mezi událostmi

Najděte zákon rozdělení časových intervalů mezi událostmi pro nejjednodušší tok. Zvažte náhodnou veličinu - časový interval mezi dvěma libovolnými sousedními událostmi v nejjednodušším toku. Musíme najít distribuční funkci
.

Zvažte opačnou událost
. To je pravděpodobnost, že od určitého okamžiku výskyt události, během žádné další události se neobjeví. Protože tok bez následků, skutečnost, že se událost objevila v tuto chvíli , by neměl mít žádný vliv na chování vlákna v budoucnu. Proto pravděpodobnost
, kde
a funkce hustoty pravděpodobnosti
.

Tento distribuční zákon se nazývá orientační(exponenciální) s parametrem. Pojďme najít matematické očekávání a rozptyl tento proces:

;

Exponenciální zákon má pozoruhodnou vlastnost: jestliže časové období rozdělené podle exponenciálního zákona již nějakou dobu trvalo , pak to žádným způsobem neovlivňuje distribuční zákon zbývající části mezery
(bude to stejné jako zákon intervalového rozdělení ).

Pojďme dokázat tuto vlastnost. Nechat
- pravděpodobnost, že služba pokračovala c), bude ještě trvat nejméně (c): tj. v časovém intervalu A+ t nedojde k jediné události. S exponenciálním distribučním zákonem servisního času
.

Podle věty o součinu pravděpodobností událostí. S exponenciálním zákonem;
a proto
, tj. u exponenciálního zákona doby služby nezávisí zákon rozdělení zbývající části doby služby na tom, jak dlouho již služba trvala. Lze dokázat, že exponenciální zákon jediný, pro kterou tato nemovitost drží.

Zkontrolováno vlastnictví, v podstatě představuje další formulaci vlastnosti žádný následný efekt.

Popisuje počet náhodných událostí vyskytujících se při konstantní intenzitě.

Pravděpodobnostní vlastnosti Poissonova proudění jsou zcela charakterizovány funkcí Λ(A), rovnající se přírůstku v intervalu A nějakou klesající funkci. Nejčastěji má Poissonův tok okamžitou hodnotu parametru λ(t)- funkce v bodech spojitosti, jejíž pravděpodobnost jevu toku v intervalu rovná A(t)dt. Li A- úsečka , Že

Poissonův tok pro který λ(t) rovno konstantní λ , se nazývá nejjednodušší tok s parametrem λ .

Poissonovy toky jsou definovány pro vícerozměrný a obecně jakýkoli abstraktní prostor, ve kterém lze zavést míru Λ(A). Stacionární Poissonovo proudění ve vícerozměrném prostoru je charakterizováno prostorovou hustotou λ . V čem Λ(A) rovnající se objemu regionu A, násobeno λ .

Klasifikace

Existují dva typy Poissonových procesů: jednoduchý (nebo jednoduše: Poissonův proces) a komplexní (zobecněný).

Jednoduchý Poissonův proces

Nechat λ > 0 (\displaystyle \lambda >0). Náhodný proces ( X t ) t ≥ 0 (\displaystyle \(X_(t)\)_(t\geq 0)) se nazývá homogenní Poissonův proces s intenzitou λ (\displaystyle \lambda), Pokud

Komplexní (zobecněný) Poissonův proces

Označme podle S k (\displaystyle S_(k)) součet prvních k prvků zadané sekvence.

Poté definujeme komplexní Poissonův proces ( Y t ) (\displaystyle \(Y_(t)\)) Jak S N (t) (\displaystyle S_(N(t))) .

Vlastnosti

• Poissonův proces přijímá pouze nezáporné celočíselné hodnoty a navíc

• Trajektorie Poissonova procesu jsou po částech konstantní, neklesající funkce se skoky rovnými jedné téměř jistě. Přesněji

Kde o (h) (\displaystyle o(h)) znamená „asi malý“.

Kritérium

Aby došlo k nějakému náhodnému procesu ( X t ) (\displaystyle \(X_(t)\)) se spojitým časem byl Poissonův (jednoduchý, homogenní) nebo shodně nulový, stačí splnit následující podmínky:

Informační vlastnosti

Záleží na tom T (\displaystyle T) z předchozí části trajektorie?
P (( T > t + s ∣ T > s )) (\displaystyle \mathbb (P) (\(T>t+s\mid T>s\)))) - ?

Nechat u (t) = P (T > t) (\displaystyle u(t)=\mathbb (P) (T>t)).

U (t ∣ s) = P (T > t + s ∩ T > s) P (T > s) = P (T > t + s) P (T > s) (\displaystyle u(t\mid s) =(\frac (\mathbb (P) (T>t+s\cap T>s))(\mathbb (P) (T>s)))=(\frac (\mathbb (P) (T>t +s))(\mathbb (P) (T>s))))
u (t ∣ s) u (s) = u (t + s) (\displaystyle u(t\mid s)u(s)=u(t+s))
u (t ∣ s) = s (t) ⇔ u (t) = e − α t (\displaystyle u(t\mid s)=s(t)\šipka doleva u(t)=e^(-\alpha t )).
Rozložení délek časových intervalů mezi skoky má vlastnost nedostatku paměti ⇔ je orientační.

X (b) − X (a) = n (\displaystyle X(b)-X(a)=n)- počet skoků na segmentu [ a , b ] (\displaystyle).
Podmíněné rozdělení skokových momentů τ 1 , … , τ n ∣ X (b) − X (a) = n (\displaystyle \tau _(1),\tečky ,\tau _(n)\mid X(b)-X(a)= n) se shoduje s distribucí variační řady vytvořené ze vzorku délky n (\displaystyle n) z R [ a , b ] (\displaystyle R).

Hustota tohoto rozdělení f τ 1 , … , τ n (t) = n ! (b − a) n I (t j ∈ [ a , b ] ∀ j = 1 , n ¯) (\displaystyle f_(\tau _(1),\tečky ,\tau _(n))(t)=( \frac(n{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (t_{j}\in \ \forall j={\overline {1,n}})} !}

CPT

• Teorém.

P (X (t) − λ t λ t< x) ⇉ x λ t → ∞ Φ (x) ∼ N (0 , 1) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − u 2 2 d u {\displaystyle \mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}

Rychlost konvergence:
sup x | P (X (t) − λ t λ t< x) − Φ (x) | ⩽ C 0 λ t {\displaystyle \sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}} ,
Kde C 0 (\displaystyle C_(0))- Berry-Essenova konstanta.

aplikace

Poissonův tok se používá k modelování různých reálných toků: havárií, toku nabitých částic z vesmíru, poruch zařízení a dalších. Může být také použit k analýze finančních mechanismů, jako je tok plateb a další reálné toky. Sestavit modely různých servisních systémů a analyzovat jejich vhodnost.

Využití Poissonových toků značně zjednodušuje řešení problémů systémů hromadné obsluhy spojených s výpočtem jejich účinnosti. Ale nepřiměřené nahrazení skutečného toku Poissonovým tokem tam, kde je to nepřijatelné, vede k hrubým chybným výpočtům.

Obnovené předměty jsou po opravě nadále používány k určenému účelu. Spolehlivost restaurovaných objektů se obvykle posuzuje podle charakteristik poruchového toku. Obecně tok události jsou sledem homogenních událostí, které následují jedna po druhé v náhodných časech. Teorie spolehlivosti restaurovaných objektů uvažuje především o nejjednodušších tocích událostí, vyznačujících se všednost, stacionárnost A nedostatek následného účinku(s takovými proudy událostí se v praxi setkáváme nejčastěji).

Proud událostí se nazývá obyčejný, pokud je pravděpodobnost výskytu dvou nebo více poruch v jediném časovém intervalu zanedbatelná ve srovnání s pravděpodobností výskytu jedné poruchy. Poruchy v systému tak nastávají jedna po druhé.

Proud událostí se nazývá stacionární, jestliže pravděpodobnost určitého počtu událostí spadajících do časového intervalu t závisí pouze na délce intervalu a nezávisí na tom, kde přesně na ose se tento interval nachází. Stacionarita toku událostí znamená, že hustota toku je konstantní. Je zřejmé, že při pozorování toku může mít kondenzace a řídnutí. U stacionárního toku však tyto kondenzace a redukce nemají pravidelný charakter a průměrný počet událostí spadajících do jednotkového časového intervalu zůstává konstantní po celé uvažované období.

Žádný následný efekt v nejjednodušším toku událostí znamená, že pravděpodobnost výskytu poruch v jediném časovém intervalu nezávisí na výskytu poruch ve všech předchozích časových intervalech, tj. poruchy se vyskytují nezávisle na sobě. V elektronických výpočetních zařízeních se poruchový tok rovná součtu poruchových toků jednotlivých zařízení. Pokud má každý jednotlivý tok poměrně rovnoměrný a malý vliv na celkový tok, pak bude celkový tok nejjednodušší.

Nechť má nejjednodušší tok selhání následující vlastnosti.

1. Doba mezi poruchami je rozdělena podle exponenciálního zákona s určitým parametrem A, (vzorce (4.16)-(4.21)):

Proto a T 0 -čas do prvního selhání je rozdělen podle exponenciálního zákona se stejným parametrem X(průměrný čas do prvního selhání je matematické očekávání T:

Za takových podmínek poruchovost X(t) se ukáže jako konstanta:

2. Nechat r(t) - počet selhání v průběhu času t (r(t) je náhodná proměnná). Pravděpodobnost, že během doby t se stane m selhání v míře selhání X, je určeno Poissonovým zákonem (viz (4.22)):

3. Průměrný počet poruch v průběhu času t rovná se:

4. Pravděpodobnost, že během doby t nedojde k žádné poruše, rovná se: P(t) = e~ i.

Nejjednodušší tok popsaných událostí se také nazývá stacionární Poissonův proud. Jak bylo uvedeno výše, takový tok je typický pro složité, vysoce spolehlivé objekty.

Proces fungování restaurovaného objektu lze popsat jako sled střídajících se intervalů provozuschopnosti a prostojů spojených s obnovou. Předpokládá se, že porucha objektu je okamžitě zaznamenána a od tohoto okamžiku začíná proces obnovy. Intervaly provozuschopnosti (předpokládáme 100% obnovu objektu) jsou nezávislé a shodně rozložené náhodné veličiny a nezávisí na intervalech obnovy, které jsou rovněž nezávislými a shodně rozloženými náhodnými veličinami (nejspíše s jiným rozdělením). Každá z těchto posloupností intervalů tvoří svůj vlastní jednoduchý tok událostí.

Připomeňme, že v případě restaurovaných objektů je hlavní charakteristikou parametr poruchového toku. Provoz takových objektů lze popsat následovně: v počátečním okamžiku objekt zahájí provoz a funguje až do selhání, po selhání dojde k obnově a objekt opět funguje až do selhání atd. Parametr toku selhání je určen pomocí vedoucí funkceQ(t) daného toku, což je matematické očekávání počtu poruch v průběhu času 1:

Kde r(t) - počet selhání v průběhu času t.

Parametr toku poruch co(0) charakterizuje průměrný počet poruch očekávaných v krátkém časovém intervalu a je určen vzorcem (2.9):

Vedoucí funkce může být vyjádřena parametrem toku selhání:

Pro stacionární Poissonovy toky, jak je uvedeno výše, poruchovost je konstantní hodnota a rovná se X; v tomto případě se shoduje s parametrem poruchového toku. Vlastností 3 stacionárního Poissonova toku se průměrný počet poruch za čas r rovná: Q.(t) = M = Xt, proto,

Střední doba mezi poruchami. Jak již bylo zmíněno, tento ukazatel je poměr provozní doby k matematickému očekávání počtu poruch během této provozní doby. Protože se stacionárním tokem poruch M Témata informační technologie obecně EN exponenciální příchody… Technická příručka překladatele